【计算机组成原理】定点数的乘法运算

定点乘法运算

在定点计算机中，两个原码表示的数相乘的运算规则是：乘积的符号位 = 两数的符号位异或，而乘积的数值部分 = 两个正数相乘之积

设n位被乘数和乘数用定点整数表示：（定点小数也同样适用）
被乘数 [x]_原 = x_fx_n-1 ··· x₁x₀
乘数 [y]_原 = y_fy_n-1 ··· y₁y₀
乘积 [z]_原 的符号是 (x_f⊕y_f) ，数值部分是 (x_n-1 ··· x₁x₀) (y_n-1 ··· y₁y₀)
（x_f、 y_f是符号）

人工算法和机器的矛盾

设 x = 1101，y = 1011，用我们习惯的方法求乘积，过程如下：

与十进制的乘法相似。（乘数和被乘数是定点小数也一样）

❗但是，人们习惯的算法对计算机来说并不适用：
①n位的机器，对于两个n位数相乘，乘积可能为2n位
②只有两个操作数相加的加法器，无法将n个位积一次性加起来

因此，早起计算机为了简化硬件结构，采用串行的1位乘法方案→多次执行“加法-移位”操作（串行乘法器）。然而串行方法太慢，满足不了我们的需求，因此串行乘法器已经被淘汰。

自从大规模集成电路问世以来，高速的单元阵列乘法器应运而生。目前广泛使用的是流水式阵列乘法器→并行乘法器！

不带符号的阵列乘法器

n位无符号数 × n位无符号数 会产生 n×n 个位积，n+n-1个列和。
并行乘法器的关键是快速产生 n×n 个位积，对位积进行相加运算产生n+n-1个列和

这种乘法器要实现n位 × n位 运算，需要n(n-1)个全加器和n²个与门

带符号的阵列乘法器

在讲带符号的阵列乘法器的原理前，我们先看算术运算部件设计中常用的求补电路

求补电路

图2.6是一个有使能控制的二进制对2求补电路图（二进制对2求补：计算二进制数的2’s complement，即二进制数的补码）

逻辑表达式：
C_-1=0
C_i = a_i + C_i-1
a^*_i = a_i ⊕ EC_i-1

最右端起始链式输入C_-1必须永远设置成 “0”
当控制信号线 E=1 时，是对2求补操作；
E=0 时，输出和输入相等。→显然我们可以 用符号位来作为控制信号

求补电路的思想

先看由补码求原码的运算：
[101100100]_补 → [110011100]_原

[111010000]_补 → [100110000]_原

[101011011]_补 → [110100101]_原

通过观察可以知道：正数的补码不变，负数的补码等于从右边开始，遇到第一个真值的1以后，除了符号位外0变1，1变0

由此得求补电路的思想：
①如果符号位是0，数据不变
②如果符号位是1，符号位不变，数据位从右边开始的第一个1以后除符号位全部取反

✨️间接补码乘法运算的步骤

设 [A]_补 = a_na_n-1…a₁a₀和 [B]_补 = b_nb_n-1…b₁b₀均为用定点表示的(n+1)位带符号整数的补码。求 [A]_补×[B]_补的步骤如下：

① 将 [A]_补 和 [B]_补 的数值位a_n-1…a₁a₀和b_n-1…b₁b₀经过求补电路后变成 |[A]_原| 和 |[B]_原|，该补码电路称为算前求补器

② 将两个n位正整数 |[A]_原| 和 |[B]_原| 送给 n×n 位不带符号的阵列乘法器，由此产生2n位原码乘积

③ 将2n位原码乘积经过求补电路变成补码，该补码电路称为算后求补器

④ 将A和B的符号位a_n和b_n进行异或，作为结果的符号位