前缀和与差分
1.综述
前缀和是某数列的前n项数的和，而差分则可以看做是前缀和的逆运算。前缀和与差分比起是一种算法，更像是一种解决问题的思路，通过构造一个特殊的数组，就可以让我们将某些复杂的问题简化。
2.前缀和
（1）一维前缀和
已知一个数列a[n]，用S[n]来表示这个数列的前n项和数列。
S[i]=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[i]
前缀和的用途：当我们要求数列a[n]的[l,r]区间内所有数的和，如果我们用一趟遍历的话，就需要O(n)的时间复杂度，而如果我们利用前缀和数组，就可以将其转化为S[r]-S[l-1]，时间复杂度变成了O(1)。
S[r]=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[l-1]+ a[l]+…+a[r]
S[l-1]=a[1]+a[2]+a[3]+…+a[l-1]
前缀和数组的预处理时间复杂度仍为O(n)。
这称为一维前缀和。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,m;
int a[N],s[N];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+a[i];//前缀和的初始化
while(m--){
int l,r;
scanf("%d%d",&l,&r);
int res=s[r]-s[l-1];//区间和的计算
printf("%d\n",res);
}
return 0;
}
（2）二维前缀和（子矩阵的和）
我们将前缀和扩展到二维矩阵中，将前n项的和转化为(x1,y1)坐标与(1,1)组成的矩阵中的所有数的和。而如果我们要求(x1,y1)(x2,y2)之间所有数的和，我们就可以利用前缀和的思路。
如图，将和分为三部分，可得子矩阵的和为
S[x2,y2]-S[x1-1,y2]-S[x2,y1-1]+S[x1-1,y1-1]。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,q;
int a[N][N],s[N][N];
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j];
while(q--){
int x1,y1,x2,y2;
scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
printf("%d\n",s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);
}
return 0;
}
3.差分
（1）一维差分
差分与前缀和可以看成是一对逆运算。我们通过一个原数组构造出其前缀和数组，对于差分来说，也可以构造出差分数组，而差分数组正好是前缀和数组逆过来的结果：
给定一个数组a[n]，我们要构造一个新数组b[n]，使得a[i]=b[1]+b[2]+…+b[i]，可以看出a[n]成为了b[n]的前缀和数组，则我们称b[n]为a[n]的差分数组。
而构造差分数组则比较简单，用数组项的差即可。
b[0]=a[0]
b[1]=a[1]-a[0]
b[2]=a[2]-a[1]
…
b[n]=a[n]-a[n-1]
通过O(n)的时间复杂度，我们就又能从b[n]得到a[n]。
差分的用途：给定一个数组a[n]，我们现在要给数组的区间[l,r]中每一个数都加上c。如果要使用暴力循环加的话，时间复杂度就是O(n)，现在我们利用差分数组，因为a[n]是b[n]的前缀和数组，所以当b[i]改变时，也会改变a[i]以及a[i]之后的每一个数，若b[i]+c，则a[i],a[i+1],…,a[n]都会+c，所以我们可以利用这个性质，让a[l]+c，然后再让a[r]-c，这样就能达成我们的目的了。
题目练习： AcWing 797. 差分
输入一个长度为n的整数序列。
接下来输入m个操作，每个操作包含三个整数l, r, c，表示将序列中[l, r]之间的每个数加上c。
请你输出进行完所有操作后的序列。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
第二行包含n个整数，表示整数序列。
接下来m行，每行包含三个整数l，r，c，表示一个操作。
输出格式
共一行，包含n个整数，表示最终序列。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,m;
int a[N],b[N];
void insert(int l,int r,int c)
{
b[l]+=c;
b[r+1]-=c;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++) insert(i,i,a[i]);
while(m--){
int l,r,c;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
insert(l,r,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++) b[i]+=b[i-1];
for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d",b[i]);
return 0;
}
（2）二维差分（差分矩阵）
如果扩展到二维，我们需要让二维数组被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c,是否也可以达到O(1)的时间复杂度。答案是肯定的，这就是二维差分。
a[][]数组是b[][]数组的前缀和数组，那么b[][]是a[][]的差分数组
原数组： a[i][j]
我们来构造差分数组： b[i][j]
使得a数组中a[i][j]是b数组左上角(1,1)到右下角(i,j)所包围矩形元素的和。
已知原数组a中被选中的子矩阵为以(x1,y1)为左上角，以(x2,y2)为右下角所围成的矩形区域
始终要记得，a数组是b数组的前缀和数组，比如对b数组的b[i][j]的修改，会影响到a数组中从a[i][j]及往后的每一个数。
假定我们已经构造好了b数组，类比一维差分，我们执行以下操作
来使被选中的子矩阵中的每个元素的值加上c
b[x1][y1]+=c;
b[x1,][y2+1]-=c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m,q;
int a[N][N],b[N][N];
void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c)
{
b[x1][y1]+=c;
b[x2+1][y1]-=c;
b[x1][y2+1]-=c;
b[x2+1][y2+1]+=c;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
insert(i,j,i,j,a[i][j]);
while(q--){
int x1,x2,y1,y2,c;
scanf("%d%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
insert(x1,y1,x2,y2,c);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
b[i][j]+=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=m;j++)
printf("%d ",b[i][j]);
puts("");
}
return 0;
}
总之，前缀和与差分说是一种算法，不如说是一种思维方式，利用运算和构造数据结构的特点，我们就能将很多问题简单化。
