算法打卡day43|动态规划篇11| Leetcode 123.买卖股票的最佳时机III、188.买卖股票的最佳时机IV

算法题

Leetcode 123.买卖股票的最佳时机III

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 个人思路 

相比昨天做的又进阶了一个等级，没搞清楚状态有几种如何转移的话是根本做不出来的..

解法

动态规划

动规五部曲：

关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。

1.确定dp数组以及下标的含义

一天一共就有五个状态，

1. 没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
2. 第一次持有股票
3. 第一次不持有股票
4. 第二次持有股票
5. 第二次不持有股票

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

需要注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票

例如 dp[i][1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i][1] 延续买入股票的这个状态。

2.确定递推公式

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

一定是选最大的， dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

同理可推出剩下状态部分：

dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);

dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);

3.dp数组如何初始化

因为第0天没有操作，就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，也就是当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，初始值依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。

所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

4.确定遍历顺序

从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5.举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]为例

（5 种状态: 0: 没有操作, 1: 第一次买入, 2: 第一次卖出, 3: 第二次买入, 4: 第二次卖出）

​

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        if (prices.length == 0) return 0; // 边界判断

        int[][] dp = new int[len][5];
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];// 初始化第二次买入的状态是确保最后结果是最多两次买卖的最大利润

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
        }

        return dp[len - 1][4];//取第二次卖出的值
    }
}

时间复杂度:O(n)；（遍历数组）

空间复杂度:O( n);（n×5的二维数组）

 Leetcode  188.买卖股票的最佳时机IV

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个人思路

上面这道题的进阶，买入卖出的时间从两次变为了n次，那逻辑是不变的，就是需要总结出规律然后用变量替代

解法

动态规划

动规五部曲：

1.确定dp数组以及下标的含义

本题依然可以用一个二维dp数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]

j的状态表示为：

• 0 表示不操作
• 1 第一次买入
• 2 第一次卖出
• 3 第二次买入
• 4 第二次卖出
• .....

通过以上就知道偶数就是卖出，奇数就是买入。题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。

2.确定递推公式

注意：dp[i][1]，表示的是第i天，买入股票的状态，并不是说一定要第i天买入股票

达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：

• 操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1]

选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1]);

同理dp[i][2]也有两个操作：

• 操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]
• 操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]

所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])

和上面那题的区别就是这里要类比j为奇数是买，偶数是卖的状态。

3.dp数组如何初始化

第0天没有操作所以就是0，即：dp[0][0] = 0;

第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];

第0天做第一次卖出的操作，即当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;

第0天第二次买入操作，而第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次（第二次买入），那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];

第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;

所以按照规律可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]；在初始化的地方同样要类比j为偶数是卖、奇数是买的状态。

4.确定遍历顺序

还是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。

5.举例推导dp数组

以输入[1,2,3,4,5]，k=2为例。

股票状态: 奇数表示第 k 次交易持有/买入, 偶数表示第 k 次交易不持有/卖出, 0 表示没有操作

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length == 0) return 0;
 
        int len = prices.length;
        int[][] dp = new int[len][k*2 + 1];// [天数][股票状态]
        
        // dp数组的初始化
        for (int i = 1; i < k*2; i += 2) {
            dp[0][i] = -prices[0];
        }

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
                dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[len - 1][k*2];
    }
}

时间复杂度:O(n*(k/2))；（代码中进行了两次循环，第一次循环是对价格数组进行初始化，第二次循环是对价格数组进行更新。每次循环都包含了k/2次比较和更新操作，因此总的操作次数是n*(k/2)）

空间复杂度:O( n*(k/2));（这里n是价格数组的大小，k是交易次数。代码中创建了一个二维数组dp，其大小为n*(k/2)）

 以上是个人的思考反思与总结，若只想根据系列题刷，参考卡哥的网址代码随想录算法官网