力扣日记：【动态规划篇】343. 整数拆分
日期：2024.4.10
参考：代码随想录、力扣
343. 整数拆分
题目描述
难度：中等
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。
返回 你可以获得的最大乘积 。
示例 1:
输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
提示:
- 2 <= n <= 58
题解
cpp ver
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
/*
思路：求一个数拆分之后能得到的最大乘积：则可以尝试把该数拆成2个数、3个数、...等，分别看各种情况的值，再取最大值
这里运用动规的关键是，怎么用递推关系表示拆分
首先定义dp[i] 表示将 i 拆分之后(注意dp包含了拆分的意味) 可以获得的最大乘积
则对一个数 i , 其拆分可表示为两种情况：
一是拆成两个数，即 j * (i - j)（这里 j 从 1 遍历到 i-2 ，因为 i - j 要 >= 2 才有意义）
二是拆成三个数及以上，表示为 j * dp[i-j] （注意 dp[i-j] 包含了将 i-j 拆成更小的数的情况）
而至于 j 拆成更小的数的情况，已经包含在遍历过程中 遍历到 j-1，j-2 等的情况里了
所以 dp[i] = max_j { max{j*(i-j), j*dp[i-j]} } 注意有两层max，即先从两种情况下选出最大值，再找到哪一个j对应的dp[i]最大
*/
// 定义 dp 数组
vector<int> dp(n + 1);
// 初始化，这里dp[0]和dp[1]没有意义，因为不能拆分，所以从2开始初始化
dp[2] = 1; // 2 只能拆成2个1，不能包含在递推中
// 遍历：对 i 从 3 遍历到 n；对 j 从 1 遍历到 i-2（如果要优化，可以遍历到 i/2，因为只有让拆出来的数尽可能大小接近，才能得到最大乘积）
for (int i = 3; i <= n; i++) { // 遍历 i 得到 dp[i]
int max_dp_i = 0;
for (int j = 1; j <= i - 2; j++) { // 遍历 j，看 j 取哪一个值能得到 dp[i] 的最大值
int cur_dp_i = max(j * (i - j), j * dp[i - j]);
max_dp_i = max(cur_dp_i, max_dp_i); // 看当前j对应的dp[i]是否是最大dp[i]
// 也可以直接表示成 dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]))
}
dp[i] = max_dp_i; // 记录max_dp_i为真正的dp[i]
}
return dp[n];
}
};
复杂度
时间复杂度：O(n * n)
空间复杂度：O(n)
思路总结
- 思路：求一个数拆分之后能得到的最大乘积：则可以尝试把该数拆成2个数、3个数、…等，分别看各种情况的值，再取最大值
- 这里运用动规的关键是，怎么用递推关系表示拆分
- 首先定义dp[i] 表示将 i 拆分之后(注意dp包含了拆分的意味) 可以获得的最大乘积
- 则对一个数 i , 其拆分可表示为两种情况：
- 一是拆成两个数，即 j * (i - j)（这里 j 从 1 遍历到 i-2 ，因为 i - j 要 >= 2 才有意义）
- 二是拆成三个数及以上，表示为 j * dp[i-j] （注意 dp[i-j] 包含了将 i-j 拆成更小的数的情况）
- 而至于 j 拆成更小的数的情况，已经包含在遍历过程中 遍历到 j-1，j-2 等的情况里了
- 所以
dp[i] = max_j { max{j*(i-j), j*dp[i-j]} }- 注意有两层max，即先从两种情况下选出最大值，再找到哪一个j对应的dp[i]最大
