01背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
完全背包
// 先遍历物品,再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
题目描述
小明是一位科学家,他需要参加一场重要的国际科学大会,以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料,但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等,它们各自占据不同的重量,并且具有不同的价值。
小明的行李箱所能承担的总重量为 N,问小明应该如何抉择,才能携带最大价值的研究材料,每种研究材料可以选择无数次,并且可以重复选择。
输入描述
第一行包含两个整数,N,V,分别表示研究材料的种类和行李空间
接下来包含 N 行,每行两个整数 wi 和 vi,代表第 i 种研究材料的重量和价值
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void completePack(vector<int> weight, vector<int> value, int bagweight) {
vector<int> dp(bagweight + 1, 0);
for (int j = 0; j <= bagweight; j++) {
for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagweight] << endl;
}
int main() {
int N, V;
cin >> N >> V;
vector<int> weight;
vector<int> value;
for (int i = 0; i < N; i++) {
int w;
int v;
cin >> w >> v;
weight.push_back(w);
value.push_back(v);
}
completePack(weight, value, V);
return 0;
}
518. 零钱兑换 II
注意两个for循环的顺序
先遍历物品,再遍历背包容量,dp[j]代表组合数;
假设:coins[0] = 1,coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算,然后再把5加入计算,得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现
{5, 1}的情况。
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
先遍历背包容量,再遍历物品,dp[j]代表排列数
背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) {
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};
一个简单例子:
假设我们有一个金额为 5 的硬币兑换问题,硬币的面额为 [1, 2, 5]。
我们要计算组合成金额 5 的组合数。
初始时,dp
数组为 [1, 0, 0, 0, 0, 0]
,其中 dp[0] = 1
,表示组合成金额 0 的组合数为 1,其他位置都初始化为 0。
接下来,我们遍历每个硬币。
- 当考虑面额为 1 的硬币时:
- 我们从
coins[i] = 1
开始遍历背包容量,即从j = 1
开始。 - 对于
j = 1
,更新dp[1] += dp[0]
,即dp[1] += 1
,表示组合成金额 1 的组合数为 1。 - 对于
j = 2
,更新dp[2] += dp[1]
,即dp[2] += 1
,表示组合成金额 2 的组合数为 1。 - 对于
j = 3
,更新dp[3] += dp[2]
,即dp[3] += 1
,表示组合成金额 3 的组合数为 1。 - 对于
j = 4
,更新dp[4] += dp[3]
,即dp[4] += 1
,表示组合成金额 4 的组合数为 1。 - 对于
j = 5
,更新dp[5] += dp[4]
,即dp[5] += 1
,表示组合成金额 5 的组合数为 1。
- 我们从
- 当考虑面额为 2 的硬币时:
- 我们从
coins[i] = 2
开始遍历背包容量,即从j = 2
开始。 - 对于
j = 2
,更新dp[2] += dp[0]
,即dp[2] += 1
,表示组合成金额 2 的组合数为 2。 - 对于
j = 3
,更新dp[3] += dp[1]
,即dp[3] += 1
,表示组合成金额 3 的组合数为 2。 - 对于
j = 4
,更新dp[4] += dp[2]
,即dp[4] += 2
,表示组合成金额 4 的组合数为 3。 - 对于
j = 5
,更新dp[5] += dp[3]
,即dp[5] += 1
,表示组合成金额 5 的组合数为 3。
- 我们从
- 当考虑面额为 5 的硬币时:
- 我们从
coins[i] = 5
开始遍历背包容量,即从j = 5
开始。 - 对于
j = 5
,更新dp[5] += dp[0]
,即dp[5] += 1
,表示组合成金额 5 的组合数为 4。
- 我们从
最终,dp[amount]
的值为 4,表示组合成金额 5 的组合数为 4。
377. 组合总和 Ⅳ
组合问题:
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int j = 0; j <= target; j++) {
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
if (j - nums[i] >= 0 && dp[j] < INT_MAX - dp[j - nums[i]]) {
dp[j] += dp[j - nums[i]];
}
}
}
return dp[target];
}
};