【拓扑的基】示例及详解

2024-04-09 03:00:03
开发
15

集合X的某拓扑的一个基是X的子集的一个族 $\mathcal B$ (其成员称为基元素)，满足条件：

1. $\forall x \in X,\exists B\in \mathcal B,x\in B$

2. $if \ x \in B_1\cap B_2,B_1,B_2\in \mathcal B,\exists B_3\in \mathcal B,x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$

由基生成拓扑

由 $\mathcal B$ 生成的拓扑 $\tau$ ( $\mathcal B$ 满足以上两个条件）

$\tau=\left \{U\subseteq X: \forall x\in U ,\exists B \in \mathcal B,x\in B \subseteq U \right \}$

等价描述：

$\tau$ 由所有可表示为 $\mathcal B$ 的某些成员的井的那些集合组成

$\tau=\left \{\bigcup_{B\in \mathcal B'}B: \mathcal B'\subseteq\mathcal B\right \}$

例1:

证明：由 $\mathcal B$ 生成的族 $\tau$ 确实是拓扑

Proof:

1. $\forall x \in X,\exists B\in \mathcal B,x\in B \subseteq X$

$so \ X ,\varnothing \in \tau$

2. $let \ \left \{ u_i \right \}_{i\in I},u_i \in \tau$

$\forall x \in \cup_{i\in I} u_i,\exists u_i,x \in u_i$

$u_i \in \tau,so\ \exists B \in \mathcal{B},x\in B \subseteq u_i \subseteq \cup_{i\in I} u_i$

3. $\forall u_1,u_2 \in \tau,if\ u_1\cap u_2=\varnothing,\varnothing\in \tau$

$if\ not\ ,\forall x \in u_1\cap u_2,\exists B_1 ,B_2\in \tau,x\in B_1\cap B_2\subseteq u_1\cap u_2$

$then, \exists B_3\in \tau,x\in B_3 \subseteq B_1\cap B_2\subseteq u_1\cap u_2, so\ u_1\cap u_2 \in \tau$

$with\ induction,\cap_{i=1}^nu_i\in\tau$

$In \ sum , \tau \ is \ topo$

同理可证，任意一个集合X，X的所有单点子集的族是X上的离散拓扑的一个基

例2:

设 $\mathcal B$ 和 $\mathcal B'$ 分别是X的拓扑 $\tau$ 和 $\tau'$ 的基，则下列条件等价：

1. $\tau'$ 细于 $\tau$

2.对 $\forall x\in X$ ，及包含x的 $\forall B\in \mathcal B$ , $\exists B' \in \mathcal B',s.t.x\in B'\subseteq B$

Proof:

1. $\Leftarrow$

$proof\ \tau \subseteq \tau '$

$\forall u \in \tau ,\forall x\in u,\exists B\in\mathcal B,x\in B\subseteq u$

$then,\exists B' \in \mathcal B',x\in B'\subseteq B\subseteq u\Rightarrow x\in \tau'$

2. $\Rightarrow$

$\forall x \in X, \forall B\in \mathcal B,s.t.\ x\in B$

$B\in\tau$

$\tau \subseteq \tau '\Rightarrow B\in\mathcal \tau '$

$\tau' \ generated \ by \ B'\Rightarrow \exists B' \in \mathcal B',x\in B'\subseteq B$

原文地址:https://blog.csdn.net/weixin_73404807/article/details/137522550 本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：https://www.suanlizi.com/kf/1777411098480349184.html 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系《酸梨子》网邮箱：1419361763@qq.com进行投诉反馈，一经查实，立即删除！

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【拓扑的基】示例及详解

由基生成拓扑

例1:

例2:

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