494. 目标和（力扣LeetCode）

494. 目标和

题目描述

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

动态规划

一维数组

这段代码是解决“目标和”问题的一个动态规划解决方案。问题描述是给定一个非负整数数组nums和一个整数target，要求通过在每个整数前添加’+‘或’-'，构造一个表达式，使得这个表达式的运算结果等于target。目标是返回可以构造的、运算结果等于target的不同表达式的数目。

这个解决方案主要使用了动态规划中的“0-1背包问题”思路来解决。首先，通过一些预处理判断是否有可能达到目标和，然后使用动态规划来计算结果。

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        // 计算数组元素的总和
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) sum += nums[i];
        
        // 如果目标和的绝对值大于总和，或者目标和与总和的和为奇数，则无法通过添加'+'和'-'来达到目标和
        if (abs(S) > sum || (S + sum) % 2 == 1) return 0;
        
        // 计算转换后的背包大小（目标和）
        int bagSize = (S + sum) / 2;
        
        // 初始化动态规划数组
        vector<int> dp(bagSize + 1, 0);
        dp[0] = 1; // 设置起始条件，表示和为0的方式只有1种（什么也不选）

        // 遍历每个数字
        for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            // 逆序遍历以避免重复计算
            for (int j = bagSize; j >= nums[i]; j--) {
                // 更新dp数组，dp[j]表示组合成和为j的不同表达式的数目
                dp[j] += dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[bagSize];
    }
};

主要步骤解释：

1. 预处理检查：因为所有数字都是非负的，如果target的绝对值大于所有数字之和，那么无法构造出这样的表达式。另外，如果target + sum(nums)是奇数，也无法通过加减得到，因为两个整数相加得到偶数或奇数的条件是它们具有相同的奇偶性。

2. 动态规划（DP）初始化：dp[bagSize + 1]用于存储每个子目标和的计算方法总数，其中dp[0] = 1表示和为0的方式只有1种（即不选择任何数字）。

3. 动态规划过程：遍历每个数字，然后对于每个数字，从bagSize到该数字的值进行逆序遍历更新dp数组。这个过程相当于考虑每个数字包含在内或不包含在内两种情况，从而计算出所有可能达到的和的方法总数。

通过这种方式，最后dp[bagSize]就是最终答案，即组合成目标和S的不同表达式的数目。