每日一练：LeeCode-70. 爬楼梯【动态规划】

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示：

• 1 <= n <= 45

一、递归

思路：

这题我们可以参照之前分析的青蛙跳台阶问题，其实原理是完全一样的
我们来分析一下：

当n等于1的时候，只需要跳一次即可，只有一种跳法，记f(1)=1
当n等于2的时候，可以先跳一级再跳一级，或者直接跳二级，共有2种跳法，记f(2)=2
当n等于3的时候，他可以从一级台阶上跳两步上来，也可以从二级台阶上跳一步上来，所以总共有f(3)=f(2)+f(1)；
同理当等于n的时候，总共有**f(n)=f(n-1)+f(n-2)(这里n>2)**种跳法。

尾递归

public static int climbStairs(int n) {
    return Fibonacci(n, 1, 1);
}

public static int Fibonacci(int n, int a, int b) { //a,b理解为n的前面两个数
    if (n <= 1)
        return b;
    return Fibonacci(n - 1, b, a + b);
}

二、非递归

思路：但递归由于重复计算，导致效率很差，我们来看一下，有很多重复的计算，相同的颜色表示计算多次

public int climbStairs(int n) {
    if (n <= 1)
        return 1;
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

三、非递归优化

思路： 我们看到上面的数组当前值是依赖他前面两个值的（前两个除外），我们只需要用两个临时变量即可，不需要申请一个数组

    public int climbStairs(int n) {
        if (n <= 2)
            return n;
        int first = 1, second = 2, sum = 0;
        while (n-- > 2) {
            sum = first + second;
            first = second;
            second = sum;
        }
        return sum;
    }

四、公式计算

public static int climbStairs(int n) {
    double sqrt = Math.sqrt(5);
    return (int) ((Math.pow((1 + sqrt) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt) / 2, n + 1)) / sqrt);
}