代码学习第24天----回溯算法

随想录日记part24

$time：$ 2024.03.10

主要内容：回溯算法在代码学习中尤其重要，所以今天继续加深对其的理解：1：递增子序列 ；2.全排列 ；3.全排列II

• 491.递增子序列
• 46.全排列
• 47.全排列 I

Topic1递增子序列

题目：

给你一个整数数组 $nums$ ，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中 至少有两个元素 。你可以按 任意顺序 返回答案。数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。

输入： $nums=[4,6,7,7]$
输出： $[[4,6],[4,6,7],[4,6,7,7],[4,7],[4,7,7],[6,7],[6,7,7],[7,7]]$

思路：

本题求自增子序列，是不能对原数组进行排序的，排完序的数组都是自增子序列了。所以不能使用之前的去重逻辑！
用 $[4,7,6,7]$ 这个数组来举例，抽象为树形结构如图：
按照回溯模板我们进行回溯三部曲：

递归三部曲：
1.回溯函数模板返回值以及参数
在这里要定义一个全局变量$result$用来存放符合条件结果的集合。回溯函数里需要一个参数为 $int$ 型变量 $startIndex$，来表示索引，
所以整体代码如下：

List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 记录最后输出的结果
List<Integer> path = new LinkedList<>();// 记录中间合理子序列
void reback(int[] nums, int startIndex)

2.回溯函数终止条件
题目要求递增子序列大小至少为2，所以代码如下
代码如下：

if (path.size() >= 2) {
	result.add(new ArrayList(path));
        }
if (startIndex >= nums.length) {
    return;
        }

3.回溯搜索的遍历过程
然后就是递归和回溯的过程：

在图中可以看出，同一父节点下的同层上使用过的元素就不能再使用了。

实现代码使用$HashSet$实现如下：

    HashSet<Integer> hs = new HashSet<>();
 	for (int i = startIndex; i < nums.length; i++) {
            // 去重
 		if ((path.size() > 0 && path.getLast() > nums[i]) || hs.contains(nums[i]))
                continue;
 			hs.add(nums[i]);
            path.add(nums[i]);
            reback(nums, i + 1);
            path.removeLast();
     }

完整的代码如下：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();// 记录最后输出的结果
    List<Integer> path = new LinkedList<>();// 记录中间合理子序列

    public List<List<Integer>> findSubsequences(int[] nums) {
        reback(nums, 0);
        return result;
    }

    private void reback(int[] nums, int startIndex) {// 回溯函数
        if (path.size() >= 2) {
            result.add(new ArrayList(path));
        }
        if (startIndex >= nums.length) {
            return;
        }
        HashSet<Integer> hs = new HashSet<>();
        for (int i = startIndex; i < nums.length; i++) {
            // 去重
            if ((path.size() > 0 && path.getLast() > nums[i]) || hs.contains(nums[i]))
                continue;
            hs.add(nums[i]);
            path.add(nums[i]);
            reback(nums, i + 1);
            path.removeLast();
        }

    }
}

时间复杂度: $O(n\ast 2^n)$
空间复杂度: $O(n)$

Topic2全排列

题目：

给定一个不含重复数字的数组 $nums$ ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。

输入： $nums=[1,2,3]$
输出： $[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]$

思路：

按照回溯模板我们进行回溯三部曲：
递归三部曲：
1.回溯函数模板返回值以及参数
在这里要定义两个全局变量，$path$用来存放符合条件单一结果，$result$用来存放符合条件结果的集合。排列问题需要一个 $used$ 数组，标记已经选择的元素，如图橘黄色部分所示:

所以整体代码如下：

List<List<Integer>> result=new ArrayList<>();
LinkedList<Integer> path=new LinkedList<>();
boolean[] used;
private void permuteHelper(int[] nums)

2.回溯函数终止条件
当收集元素的数组$path$的大小达到和$nums$数组一样大的时候，说明找到了一个全排列

if (nums.length == path.size()) {
	result.add(new ArrayList(path));
    return;
    }

3.回溯搜索的遍历过程
实现代码如下：

 for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (used[i] == false) {
                used[i] = true;
                path.add(nums[i]);
                permuteHelper(nums);
                path.removeLast();
                used[i] = false;
            }
        }

完整的代码如下：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new LinkedList<>();
    boolean[] used;

    public List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
        used = new boolean[nums.length];
        Arrays.fill(used, false);
        permuteHelper(nums);
        return result;
    }

    private void permuteHelper(int[] nums) {
        // 回溯的结束条件
        if (nums.length == path.size()) {
            result.add(new ArrayList(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (used[i] == false) {
                used[i] = true;
                path.add(nums[i]);
                permuteHelper(nums);
                path.removeLast();
                used[i] = false;
            }
        }

    }
}

时间复杂度: $O(n!)$
空间复杂度: $O(n)$

Topic3全排列II

题目：

给定一个可包含重复数字的序列 $nums$ ，按任意顺序返回所有不重复的全排列。

输入： $nums=[1,1,2]$
输出： $[[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1]]$

思路：
这个就是上面的方法加上了去重操作直接给出代码：

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    List<Integer> path = new LinkedList<>();
    boolean[] used;

    public List<List<Integer>> permuteUnique(int[] nums) {
        used = new boolean[nums.length];
        Arrays.fill(used, false);
        Arrays.sort(nums);
        reback(nums);
        return result;
    }
    private void reback(int[] nums) {
        if (path.size() == nums.length) {
            result.add(new ArrayList(path));
            return;
        }
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (used[i] == false) {
                if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false)
                    continue;
                used[i] = true;
                path.add(nums[i]);
                reback(nums);
                path.removeLast();
                used[i] = false;
            }
        }
    }
}

时间复杂度: $O(n!\ast n)$
空间复杂度: $O(n)$

拓展：
去重最为关键的代码为：

if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
    continue;
}

如果改成 $used[i-1]==true$， 也是正确的!，去重代码如下：

if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == true) {
    continue;
}

对于排列问题，树层上去重和树枝上去重，都是可以的，但是树层上去重效率更高！
用输入: $[1,1,1]$ 来举一个例子。
树层上去重 $(used[i-1]==false)$，的树形结构如下：

树枝上去重$（used[i-1]==true）$的树型结构如下：