张宇高数一学习笔记-第一讲-函数极限与连续（1）

1、函数的概念与特性

1.1、函数

1、y才是x的函数，而f()是加工法则。

2、定义域是基于加工法则f()存在的，也就是说加工法则f()对()内数据的限制范围就是定义域。而

3、自变量x的取值范围来源于：定义域对()内的含x表达式的限制下得出的x的取值范围。

4、由2、3点可推得：只要存在x，能使得f()的()中含x表达式的值域能满足定义域，那么f()的()中含x表达式无论怎样变化都行。

例如：

$f(x)$的定义域为$[0,\infty ]$，那么$f(x^2)$的定义域也为$[0,\infty ]$，可是$f(x^2)$中$x$的取值范围是$R$。

而$f(-x^2)$是不存在的，因为无论$x$的取值为多少，$-x^2$的值域都无法满足$f$的定义域。

5、单值函数，即映射状态为：一对一、一对多，也就是说一个y只由一个x决定；多值函数，即映射状态为：多对一，也就是说一个y可由多个x决定。

在未特别说明的情况下，我们研究的对象主要是单值函数。

6、判断单值函数的方法：铅锤直线法。

铅锤直线法：作铅锤直线（即垂直于x轴的直线），若任一条铅锤直线与函数f(x)至多有一个交点（即交点数量<=1，可为0），则f(x)为单值函数。

1.2、反函数

1、单值函数才会有反函数。

2、根据反函数的定义，可根据水平划线法来判断f(x)是否具有反函数，即：在符合铅锤划线法的条件下（因为只有单值函数才会有反函数），作水平直线（垂直于y轴的直线），若任一水平直线与f(x)至多有一个交点（即交点数量<=1，可为0），则f(x)有反函数。

故：铅锤直线定单多，水平直线定反直。

3、一个函数和它的反函数（如果有的话）的根本差异在于加工法则f互逆。

4、严格单调函数必有反函数，有反函数的函数不一定为单调函数。

5、任何一个函数将x与y互换，都会导致新函数与原函数关于x=y对称。

6、求反函数的方法：

方法1：取逆法。

取逆法：只需要将自变量和因变量置换，然后求出对应的函数y=f(x)即可。

方法2：特性法。

特性法：根据函数中某些子函数的特性，化简公式，消去公式中含x的复杂体，保留单个x，最终得到x = f(y)，再置换x与y，得到最终的反函数。

7、

1.3、复合函数

复合函数就是函数嵌套。