引言
今天是大年三十，提前祝大家新的一年天天开心，事事如意，过年把身体精神修养好后，年后继续朝着目标奋斗，然后加油吧！
一、最长上升子序列
标签：简单 DP
思路：枚举每个a[i]，再枚举判断过的，如果a[i] > a[j]，那么找到最大的f[j]+1与当前的f[i]比较，最后寻找到最大的以i结尾的最长上升子序列
题目描述：
给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。
输入格式
第一行包含整数 N。
第二行包含 N 个整数，表示完整序列。
输出格式
输出一个整数，表示最大长度。
数据范围
1≤N≤1000，−109≤数列中的数≤109
输入样例：
7
3 1 2 1 8 5 6
输出样例：
4
示例代码：
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n;
int a[N], f[N];
int main()
{
cin >> n;
for(int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
f[i] = 1;
for(int j = 1; j < i; ++j)
{
if(a[i] > a[j]) f[i] = max(f[i], f[j] + 1);
}
}
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i) res = max(res, f[i]);
cout << res << endl;
return 0;
}
二、地宫取宝
标签：DP
思路：首先要确定状态表示 f [ i ] [ j ] [ c n t ] [ k ] f[i][j][cnt][k] f[i][j][cnt][k]表示下标为 [ i , j ] [i,j] [i,j]，取了 c n t cnt cnt个，最大价值为 k k k的所以集合的数量，然后状态可以划分为取 a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j]的物品和不取 a [ i ] [ j ] a[i][j] a[i][j]的物品（需要 k = = a [ i ] [ j ] k == a[i][j] k==a[i][j]），状态方程分别为
f [ i ] [ j ] [ c n t ] [ k ] = ( f [ i ] [ j ] [ c n t ] [ k ] + f [ i − 1 ] [ j ] [ c n t ] [ k ] + f [ i ] [ j − 1 ] [ c n t ] [ k ] ) f[i][j][cnt][k] = (f[i][j][cnt][k] + f[i-1][j][cnt][k] + f[i][j-1][cnt][k]) f[i][j][cnt][k]=(f[i][j][cnt][k]+f[i−1][j][cnt][k]+f[i][j−1][cnt][k])，
f [ i ] [ j ] [ c n t ] [ k ] = ( f [ i ] [ j ] [ c n t ] [ k ] + f [ i − 1 ] [ j ] [ c n t − 1 ] [ k ] + f [ i ] [ j − 1 ] [ c n t − 1 ] [ k ] ) ( k = 0 , 1 , 2 , . . . k − 1 ) f[i][j][cnt][k] = (f[i][j][cnt][k] + f[i-1][j][cnt-1][k] + f[i][j-1][cnt-1][k]) (k = 0,1,2,...k-1) f[i][j][cnt][k]=(f[i][j][cnt][k]+f[i−1][j][cnt−1][k]+f[i][j−1][cnt−1][k])(k=0,1,2,...k−1)
题目描述：
X 国王有一个地宫宝库，是 n×m 个格子的矩阵，每个格子放一件宝贝，每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角，出口在右下角。
小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。
输入格式
第一行 3 个整数，n,m,k，含义见题目描述。
接下来 n 行，每行有 m 个整数 Ci 用来描述宝库矩阵每个格子的宝贝价值。
输出格式
输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。
该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
数据范围
1≤n,m≤50,1≤k≤12,0≤Ci≤12
输入样例1：
2 2 2
1 2
2 1
输出样例1：
2
输入样例2：
2 3 2
1 2 3
2 1 5
输出样例2：
14```
`示例代码：`
```cpp
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 55, MOD = 1000000007;
int n, m, k;
int a[N][N];
int f[N][N][13][14];
int main()
{
cin >> n >> m >> k;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
cin >> a[i][j];
a[i][j]++;
}
}
f[1][1][0][0] = 1;
f[1][1][1][a[1][1]] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
for(int j = 1; j <= m; ++j)
{
for(int cnt = 0; cnt <= k; ++cnt)
{
for(int k = 0; k < 14; ++k)
{
f[i][j][cnt][k] = (f[i][j][cnt][k] + f[i-1][j][cnt][k]) % MOD;
f[i][j][cnt][k] = (f[i][j][cnt][k] + f[i][j-1][cnt][k]) % MOD;
if(cnt && k == a[i][j])
{
for(int s = 0; s < a[i][j]; ++s)
{
f[i][j][cnt][k] = (f[i][j][cnt][k] + f[i-1][j][cnt-1][s]) % MOD;
f[i][j][cnt][k] = (f[i][j][cnt][k] + f[i][j-1][cnt-1][s]) % MOD;
}
}
}
}
}
}
LL res = 0;
for(int i = 1; i <= 14; ++i) res = (res + f[n][m][k][i]) % MOD;
cout << res << endl;
return 0;
}
三、波动数列
标签：DP
思路：这道题虽然看了讲解视频，敲了代码，但其实还是不是很懂。大概就是：状态表示为f[i][j]，为前i项，当前的总和除以n的余数是j的方案数的总和数，然后就推出一个方程
f [ i ] [ j ] = f [ i − 1 ] [ j − a ∗ ( n − i ) ] + f [ i − 1 ] [ j + b ∗ ( n − i ) ] f[i][j]=f[i-1][j-a*(n-i)]+f[i-1][j+b*(n-i)] f[i][j]=f[i−1][j−a∗(n−i)]+f[i−1][j+b∗(n−i)]然后就递推就完了。
题目描述：
观察这个数列：
1 3 0 2 -1 1 -2 …
这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3，且每一项都为整数。
栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加 a 或者减少 b 的整数数列可能有多少种呢？
输入格式
共一行，包含四个整数 n,s,a,b，含义如前面所述。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。
由于这个数很大，请输出方案数除以 100000007 的余数。
数据范围
1≤n≤1000,−109≤s≤109,1≤a,b≤106
输入样例：
4 10 2 3
输出样例：
2
样例解释
两个满足条件的数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。
示例代码：
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 1010, MOD = 100000007;
int n, s, a, b;
int f[N][N]; // 前i项总和余数为j的方案数
int get_mod(int a, int b)
{
return (a % b + b) % b;
}
int main()
{
cin >> n >> s >> a >> b;
f[0][0] = 1;
for(int i = 1; i < n; ++i)
{
for(int j = 0; j < n; ++j)
{
f[i][j] = (f[i-1][get_mod(j - a * (n - i),n)] + f[i-1][get_mod(j + b * (n - i),n)]) % MOD;
}
}
cout << f[n-1][get_mod(s,n)] << endl;
return 0;
}
