PyTorch][chapter 13[李宏毅深度学习][Semi-supervised Linear Methods-2]

前言：

     接上篇CSDN

 这里面重点讲下面4个方面

目录：

1.      PCA-Another Point of view（SVD）
2.      PCA 和 AutoEncoder 的关系
3.     PCA 的缺点
4.      PCA Python 例子

一  PCA-Another Point of view

       以手写数字7的图像为例，它由不同的笔画结构组成,分别为

     则手写数字7可以表示为

      上图 

  1.1 损失函数

    我们要找到一组向量 使得

         最小(公式1.1）

       有论文证明过，这个最优解就是SVD 奇异分解结果

 1.2 PCA 降维原理回顾

    这个特征向量 是的特征向量
这个解可以使得损失函数L公式1.1 最小，在Bitshop chapter12.1.2 里面有证明

1.3 SVD 奇异分解

     任意矩阵X（m,n），都可以将其分解为如下的形式

• U：酉矩阵，亦称么正矩阵（单位正交），由对称矩阵的特征向量组成。（与W的奇异值的顺序一致）
• ：对角矩阵，由对称矩阵或的特征值的开平方组成，称为奇异值（从大到小排列，U和对应的特征向量亦如此）
• ：酉矩阵，亦称么正矩阵（单位正交），由对称矩阵的特征向量组成。（与的奇异值的顺序一致）

1.4 PCA 和 SVD 关系

      假设我们有m笔数据

      第1笔数据 

      第2笔数据 

      第3笔数据 

      我们发现可以用SVD 求上面的解

       其中U 就是 的特征向量，跟PCA 中的协方差是一个东西

    asso = np.cov(x, rowvar=False)

二  PCA 和 AutoEncoder 的关系

​​​​​​​

     PCA 通过求解的协方差矩阵的特征值，特征向量得到投影矩阵

     降维得到 :

              投影：   

              还原：​​​​​​​  因为W 每一行之间都是正交基（不同特征值之间正交）

     在神经网络里面可以通过AutoEncoder 来实现

     编码器Encoder：

                  ，模仿投影到低维空间功能

     解码器Decoder：

                     模仿还原到高维空间的功能

     问题：

              针对重构误差
              

               如果可以线性重构：

三 PCA 的缺点

    3.1  主成分选择：

     选择较少的主成分可以实现较高的压缩率，但可能会丢失一些重要信息。而选择较多的主成分可能会保留过多的冗余信息。因此，在选择主成分的数量时需要权衡

    比如上图，红色点核绿色点两类。降低到一维上（红线）这个时候不同类别的特征信息就丢失了

在低维度空间无法区分.

3.2  非线性问题：

        PCA是一种线性降维方法，它假设数据是线性可分的。对于非线性问题，PCA可能无法捕捉到数据的复杂结构。针对非线性问题，可以使用核PCA或其他非线性降维方法。

3,3数据预处理：

      PCA对数据的预处理要求较高。标准化是必要的，因为PCA是基于特征之间的协方差矩阵进行计算的。如果数据不经过合适的预处理，可能会导致结果不准确或不可靠。

3.4  特征向量取多少个

    原数据维度为d,降维维度为k. 这个k 到底怎么取

可以设置一个重构阀 例t =95%

需要K 满足下面条件即可：

 从大到小取特征值的绝对值

四 PCA Python 例子

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Fri Feb  2 11:29:42 2024

@author: chengxf2
"""


import numpy as np



def calcCov(isAPI=True, data=None):
    
    '''
    isAPI : 是否通过直接调用API 方式
    data:   默认是每一行代表一个样本，每一列是一个维度，因为要降维
            所以做转置
    '''
   
    
    X = data.T
    #  m,n = np.shape(X)
    
    if True == isAPI:
        cov = np.cov(X,bias=False)
        print("\n api cov \n ",cov)
  
    else:
        
        #计算均值
        u = np.mean(X,axis=1,keepdims=True)
        m,n = np.shape(X)
        print(n)
    
        bias= X-u
        #print("\n 每一行是一个维度\n",X)
        #print("\n 均值 ",u)
        #print("\n x-u",a)
        
        cov = np.matmul(bias,bias.T)/(n-1)
        print("\n cov",cov)
  
    return cov
  
  
    
    print("\n API 协方差",cov)

    
class PCA():
    
    
    def __init__(self, k):
        
        self.k = 0
        
    def obtain_features(self, eigVals, eigVecs,proportion):
          total = sum(abs(eigVals))
          print("\n 特征值 \n ",eigVals)
          m,n = np.shape(eigVecs)
          W= []
          
          eig_pairs = [(np.abs(eigVals[i]), list(eigVecs[:,i])) for i in range(n)]
          # 从大到小排序
          eig_pairs.sort(reverse=True)
          
          # select the top k eig_vec
          numerator = 0
          k=0
          for paris in eig_pairs:
              val, eig = paris
              numerator =numerator+val
              ratio = numerator/total
              k=k+1
              W.append(eig)
              if ratio>proportion:
                  #每一行为一个特征向量
                  #print("\n 特征向量",W)
                  print("\n 特征向量维度",np.shape(W))
                  break
              
          W = np.array(W)
          return W.T
    
    def fit(self,data):
        
        #计算协方差矩阵
        cov = calcCov(True, data)
        #取总体能力的百分比
        proportion =0.8
        eigVals, eigVecs = np.linalg.eig(cov)
        self.W = self.obtain_features(eigVals, eigVecs, proportion)
        
        return self.W
        
    
    def reduction(self,data,W):
        #数据进行降维
        #data :m,n 每列为对应的属性
        #W: [n,k] 降到K维
        
        A = np.matmul(data, W)
        print(A.shape)
        return A
        
        
        
        
       
        

def main():
     
     data = np.random.rand(10,8)
     net = PCA(3)
     
     W= net.fit(data)
     net.reduction(data, W)
           
        
    
if __name__ == "__main__":
   main()    

参考：

13: Unsupervised Learning - Linear Methods_哔哩哔哩_bilibili

CSDN

基于PyTorch的PCA简单实现 - 知乎