Acwing---788.逆序对的数量

1.题目

给定一个长度为 $n$ 的整数数列，请你计算数列中的逆序对的数量。逆序对的定义如下：对于数列的第 $i$个和第 $j$ 个元素，如果满足

$i<j$ 且 $a[i]>a[j]$ ，则其为一个逆序对；否则不是。

输入格式
第一行包含整数 $n$，表示数列的长度。

第二行包含 $n$ 个整数，表示整个数列。

输出格式
输出一个整数，表示逆序对的个数。

数据范围
$1\le n\le 100000$，数列中的元素的取值范围 $[1,10^9]$。

输入样例：

6
2 3 4 5 6 1

输出样例：

5

2.基本思想

法1：双重for暴力 ——> 时间超时 O(n^2)

法2： 归并排序

基于归并排序的解法
一种高效的计算逆序对的方法是使用修改后的归并排序算法。基本思想是将数组分割为较小的子数组，递归地对它们进行排序，然后在合并过程中计算逆序对。

• 归并排序步骤：将数组递归地分割为两半，直到每个子数组只有一个元素。然后，将子数组按照排序顺序合并回来，同时在合并过程中计算逆序对。

• 合并过程中计算逆序对：在合并两个已排序的子数组时，如果发现逆序对（即 arr[i] > arr[j]），则将逆序对的数量递增为第一个子数组中剩余的元素数量（即 (mid - i + 1)，其中 mid 是合并的子数组的中间索引）。

• 这是因为在合并过程中，如果左边的子数组元素 arr[i] 大于右边的子数组元素 arr[j]，则 arr[i] 大于右边子数组中的所有元素，形成逆序对。

示例

假设一个数组 arr = [4, 3, 2, 1]。

使用基于归并排序的方法，我们可以如下计算逆序对的数量：

初始数组：[4, 3, 2, 1]

归并排序步骤1：[4, 3, 2, 1] -> [4, 3], [2, 1]

归并排序步骤2：[4, 3], [2, 1] -> [4], [3], [2], [1]

归并排序步骤3：合并 [4], [3]，得到[3, 4]

合并过程中计算逆序对： [4] 与 [3] 合并，总逆序对数量 = 1（因为 4 > 3 且 且 4 后面没有其他元素）

归并排序步骤4：合并 [2], [1], 得到[1, 2]

合并过程中计算逆序对：[2]与 [1] 合并，总逆序对数量 = 1（因为 2 > 1 且 且 2 后面没有其他元素）

归并排序步骤5：[3, 4], [1, 2] -> [1, 2, 3, 4]

合并过程中计算逆序对：[3, 4] 与 [1, 2] 合并，总逆序对数量 = 4（最开始 3 和 1 比较，因为3 > 1, 所以逆序对为 mid - l + 1 = 1 - 0 + 1 = 2 个。 接下来3 与 2 比较：因为3 > 2, 所以逆序对为 mid - l + 1 = 1 - 0 + 1 = 2 个。）

最终逆序对数量：1 + 1 + 2 + 2 = 6

• 时间复杂度：该方法的时间复杂度为 O(n log n)。

3.代码实现

import java.util.Scanner;

public class Main {
   

    public static void main(String[] args) {
   
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) arr[i] = sc.nextInt();
        System.out.println((merge_sort(arr, 0, n - 1)));
    }

    private static long merge_sort(int[] arr, int l, int r) {
   
        if (l >= r) return 0;
        int mid = (l + r) >> 1;
        long res = 0;
        //子序列归并
        res += merge_sort(arr, l, mid) + merge_sort(arr, mid + 1, r);

        int i = l, j = mid + 1, k = 0;
        int[] temp = new int[r - l + 1];
        while (i <= mid && j <= r) {
   
            if (arr[i] <= arr[j]) temp[k++] = arr[i++];
            else {
   
                temp[k++] = arr[j++];
                res += mid - i + 1;
            }
        }
        while (i <= mid) temp[k++] = arr[i++];
        while (j <= r) temp[k++] = arr[j++];

        for (i = l, j = 0; i <= r; i++, j++) arr[i] = temp[j];
        return res;
    }
}