初学数据结构：二叉树

【本节目标】

1. 掌握树的基本概念
2. 掌握二叉树概念及特性
3. 掌握二叉树的基本操作
4. 完成二叉树相关的面试题练习

1. 树型结构（了解）

1.1 概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点
• 除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合$T_1、T_2、......、T_m$，其中每一个集合$T_i$ ($1<=i<=m$) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 树是递归定义的

注意：树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

• 子树是不相交的
• 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点
• 一颗N个结点的树有N-1条边

1.2 树的基础概念（重要）

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
• 孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的高度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为4

树的以下概念只需了解，在看书时只要知道是什么意思即可：

• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.3 树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

class Node {
   
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.4 树的应用

文件系统管理（目录和文件）

2. 二叉树（重点）

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

• 或者为空
• 或者是由一个根节点加上两棵被称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

• 二叉树不存在度大于2的结点
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：空树、只有根节点、只有左子树、只有右子树、左右子树均存在

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是$2^k-1$ ，则它就是满二叉树
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。从上到下，从左到右，依次存放，对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

2.3 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有$2^{i-1}(i>0)$个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是$2^k-1(k>=0)$
3. 对任何一棵二叉树，如果其叶结点个数为$n_0$，度为2的非叶结点个数为$n_2$，则有$n_0=n_2+1$
4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为$lo{g}_2(n+1)$上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下、从左至右的顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
   • 若$i>0$,双亲序号：$(i-1)/2$；$i=0$，i为根节点编号，无双亲结点
   • 若$2i+1<n$,左孩子序号：$2i+1$，否则无左孩子
   • 若$2i+2<n$,右孩子序号：$2i+2$，否则无右孩子

1.某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12



答案：
1.B
2.A
3.B
4.B

2.4 二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

顺序存储在下节介绍。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式，具体如下

// 孩子表示法
class Node {
   
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
} 
// 孩子双亲表示法
class Node {
   
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

孩子双亲表示法后序在平衡树位置介绍，本文采用孩子表示法来构建二叉树

2.5 二叉树的基本操作

2.5.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式

public class BinaryTree{
   
    public static class BTNode{
   
        BTNode left;
        BTNode right;
        int value;
        BTNode(int value){
   
            this.value = value;
        }
    }
    private BTNode root;
    public void createBinaryTree(){
   
        BTNode node1 = new BTNode(1);
        BTNode node1 = new BTNode(2);
        BTNode node1 = new BTNode(3);
        BTNode node1 = new BTNode(4);
        BTNode node1 = new BTNode(5);
        BTNode node1 = new BTNode(6);
        root = node1;
        node1.left = node2;
        node2.left = node3;
        node1.right = node4;
        node4.left = node5;
        node5.right = node6;
    }
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：

1. 空树
2. 非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的

2.5.2 二叉树的遍历

• 前序遍历：根 --> 左子树 --> 右子树
• 中序遍历：左子树 --> 根 --> 右子树
• 后序遍历：左子树 --> 右子树 --> 根
• 层序遍历：从上到下，从左到右

遍历：沿着某条路径进行遍历

1. 前中后序遍历

   学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题(比如：打印节点内容、节点内容加1)。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础

   

   在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

   • NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点—>根的左子树—>根的右子树
   • LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——根的左子树—>根节点—>根的右子树
   • LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——根的左子树—>根的右子树—>根节点

   public class BinaryTree {
        
       static class TreeNode {
        
           public char val;
           public TreeNode left;
           public TreeNode right;
   
           public TreeNode(char val) {
        
               this.val = val;
           }
       }
   
       //以穷举的方式创建一棵二叉树出来
       public TreeNode creatTree() {
        
           TreeNode A = new TreeNode('A');
           TreeNode B = new TreeNode('B');
           TreeNode C = new TreeNode('C');
           TreeNode D = new TreeNode('D');
           TreeNode E = new TreeNode('E');
           TreeNode F = new TreeNode('F');
           TreeNode G = new TreeNode('G');
           TreeNode H = new TreeNode('H');
           A.left = B;
           A.right = C;
   
           B.left = D;
           B.right= E;
           C.left = F;
           C.right = G;
   
           E.right = H;
   
           return A;
       }
   
       // 前序遍历
       void preOrder(TreeNode root){
        
           if (root == null) {
        
               return;//空树是不需要遍历的
           }
           System.out.print(root.val + " ");
           preOrder(root.left);
           preOrder(root.right);
       }
       // 中序遍历
       void inOrder(TreeNode root) {
        
           if (root == null) {
        
               return;//空树是不需要遍历的
           }
           inOrder(root.left);
           System.out.print(root.val + " ");
           inOrder(root.right);
   
       }
       // 后序遍历
       void postOrder(TreeNode root) {
        
           if (root == null) {
        
               return;//空树是不需要遍历的
           }
           postOrder(root.left);
           postOrder(root.right);
           System.out.print(root.val + " ");
       }
   
   }
   

   public class Test {
        
       public static void main(String[] args) {
        
           BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
           BinaryTree.TreeNode root = binaryTree.creatTree();
           binaryTree.preOrder(root);
           System.out.println();
           binaryTree.inOrder(root);
           System.out.println();
           binaryTree.postOrder(root);
   
       }
   }
   

   下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，可自己动手绘制

   

   前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
   中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
   后序遍历结果：3 1 5 6 4 1
   

2. 层序遍历

   层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

   

【练习】请根据以上二叉树的三种遍历方式，给出以下二叉树的遍历结果：

前序遍历结果：ABDEHCFG
中序遍历结果：DBEHAFCG
后序遍历结果：DHEBFGCA

选择题

1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为(ABDHECFG)
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H

3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde

4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF



【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A

2.5.3 二叉树的基本操作

// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);
//层序遍历
void levelOrder(Node root);
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);

import java.util.ArrayList;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;

public class BinaryTree {
   
    class TreeNode{
   
        public char val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;

        public TreeNode(char val) {
   
            this.val = val;
        }
    }

    /**
     * 以穷举的方式
     * 创建一棵二叉树 返回这棵树的根节点
     * @return
     */
    public TreeNode createTree(){
   
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');

        TreeNode root = A;
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;

        return root;
    }

    /**
     * 前序遍历
     * @param root
     */
    public void preOrder(TreeNode root){
   
        if (root == null){
   
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

    /**
     * 中序遍历
     * @param root
     */
    public void inOrder(TreeNode root){
   
        if (root == null){
   
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }

    /**
     * 后序遍历
     * @param root
     */
    public void postOrder(TreeNode root){
   
        if (root == null){
   
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

    public static int nodeSize;
    /**
     * 获取树中节点的个数：遍历思路
     */
    public void size(TreeNode root){
   
        if (root == null){
   
            return;
        }
        nodeSize++;
        size(root.left);
        size(root.right);
    }

    /**
     * 获取节点的个数：子问题的思路
     * @param root
     * @return
     */
    public int size2(TreeNode root){
   
        if (root == null){
   
            return 0;
        }
        int tmp = size2(root.left) + size2(root.right) + 1;
        return tmp;
    }

    public static int leafSize;
    /**
     * 获取叶子节点的个数：遍历思路
     * @param root
     */
    public void getLeafNodeCount1(TreeNode root){
   
        if (root == null){
   
            return;
        }
        if (root.left == null && root.right == null){
   
            leafSize++;
            return;
        }
        getLeafNodeCount1(root.left);
        getLeafNodeCount1(root.right);
    }

    /**
     * 获取叶子节点的个数：子问题
     * @param root
     * @return
     */
    public int getLeafNodeCount2(TreeNode root){
   
        if (root == null){
   
            return 0 ;
        }
        if (root.left == null && root.right == null){
   
            return 1;
        }
        int tmp =getLeafNodeCount2(root.left) + getLeafNodeCount2(root.right);
        return tmp;
    }

    /**
     * 获取第K层节点的个数
     * @param root
     * @param k
     * @return
     */
    public int getLevelNodeCount(TreeNode root, int k) {
   
        if (root == null){
   
            return 0;
        }
        if (k == 1){
   
            return 1;
        }
        return getLevelNodeCount(root.left, k - 1) + getLevelNodeCount(root.right, k - 1);
    }

    /**
     *  获取二叉树的高度
     *  时间复杂度：O(N)
     * @param root
     * @return
     */
    public int getHeight(TreeNode root) {
   
        if (root == null){
   
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        return Math.max(leftHeight,rightHeight) + 1;
    }
    public int getHeight2 (TreeNode root){
   
        if(root == null) {
   
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight2(root.left);
        int rightHeight = getHeight2(root.right);
        return (leftHeight > rightHeight ? leftHeight : rightHeight) + 1;
    }
    public int getHeight3(TreeNode root) {
   
        if(root == null) {
   
            return 0;
        }

        return (getHeight3(root.left) >  getHeight3(root.right)
                ? getHeight3(root.left) :  getHeight3(root.right)) + 1;
    }

    /**
     * 检测值为value的元素是否存在
     * @param root
     * @param val
     * @return
     */
    public TreeNode find(TreeNode root, char val){
   
        if (root == null){
   
            return null;
        }
        if (root.val == val){
   
            return root;
        }
        TreeNode leftVal = find(root.left, val);
        if (leftVal!=null){
   
            return leftVal;
        }
        TreeNode rightVal = find(root.right, val);
        if (rightVal!=null){
   
            return rightVal;
        }
        return null;
    }

    /**
     * 层序遍历
     * @param root
     */
    public void levelOrder(TreeNode root) {
   
        if (root == null){
   
            return;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()){
   
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.println(cur.val + "");
            if (cur.left != null){
   
                queue.offer(cur.left);
            }
            if (cur.right != null){
   
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }

    public List<List<Character>> levelOrder2(TreeNode root){
   
        List<List<Character>> retList = new ArrayList<>();
        if (root == null){
   
            return retList;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()){
   
            int size = queue.size();
            List<Character> list = new ArrayList<>();
            while (size != 0){
   
                TreeNode cur = queue.poll();
                list.add(cur.val);
                size--;
                if (cur.left != null){
   
                    queue.offer(cur.left);
                }
                if (cur.right != null){
   
                    queue.offer(cur.right);
                }

            }
            retList.add(0,list);
        }
        return retList;
    }


    /**
     * 判断一棵树是不是完全二叉树
     * @param root
     * @return
     */
    public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
   
        if (root == null){
   
            return true;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()){
   
            TreeNode cur = queue.poll();
            if (cur != null){
   
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            }else {
   
                break;
            }
        }
        while (!queue.isEmpty()){
   
            TreeNode cur = queue.poll();
            if (cur != null){
   
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}