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一、堆的定义
1、堆的定义：
堆可以被看作是一棵完全二叉树的数组对象。即在存储结构上是数组，在逻辑结构上是一棵完全二叉树。在堆中，树的每个节点都满足堆属性，即父节点的值大于（或小于）其子节点的值。
具体而言，对于最大堆，父节点的值大于等于其子节点的值；而对于最小堆，则是父节点的值小于等于其子节点的值。这使得堆的根节点（常常是数组的第一个元素）成为堆中最大（或最小）的元素。
2、根节点与其左、右孩子间的联系
在堆中，根节点和其子节点之间存在一种特殊的联系。
对于任意一个节点 i，其左子节点位于位置 2i+1，右子节点位于位置 2i+2。反之，对于任意一个节点 j，其父节点位于位置 (j-1)/2。（这里的位置是指在数组中的索引位置）
换句话说，如果我们将堆表示为一个数组，那么对于任意节点 i，其左子节点就是数组中下标为 2i+1 的元素，右子节点就是数组中下标为 2i+2 的元素。而节点 i 的父节点就是数组中下标为 (i-1)/2 的元素。
二、堆的创建
下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们介绍两种方法：堆的向下调整算法和堆的向上调整算法
1、堆的向下调整算法
这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
具体步骤如下：
首先，根据二叉树的性质，最后一个非叶子节点的索引可以通过
(n-2)/2计算得到，其中n是二叉树的节点总数。我们可以使用一个循环，从最后一个非叶子节点开始，依次向前遍历每个节点。
对于每个节点，我们可以调用
AdjustDown函数来对其进行向下调整的操作。通过依次向上调整每个节点，我们可以确保整个二叉树满足堆的性质。
代码及注释：
#include <stdio.h>
#include<stdlib.h>
void swap(int* a, int* b)
{
int temp;
temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
void AdjustDown(int* a, int n, int root)
{
int child; // 子节点的索引
child = root * 2 + 1; // 计算左孩子节点的索引
while (child < n) // 当存在孩子节点时循环
{
if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child]) // 如果存在右孩子且右孩子大于左孩子
{
child++; // 将 child 置为右孩子的索引
}
if (a[root] < a[child]) // 如果根节点小于孩子节点
{
swap(&a[root], &a[child]); // 交换根节点和孩子节点的值
}
root = child; // 将根节点更新为孩子节点
child = root * 2 + 1; // 计算新根节点的左孩子节点索引
}
}
int main()
{
int a[] = {10,1,3,2,4,6,8,9,7};
int n = sizeof(a) / sizeof(int);
int root = (n - 2) / 2;
int i;
for (i = root; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, n, i); // 对每个根节点进行向下调整操作
}
for (i = 0; i < n; i++)
{
printf("%d ", a[i]);
}
return 0;
}
2、堆的向上调整算法
- 开始时，我们将数组第一个元素视为一个堆。
- 对于后续每个元素，调用
AdjustUp函数进行向上调整的操作，使当前包含的数组元素满足堆的性质——即向堆中插入数据并通过向上调整使其成为新的堆。 AdjustUp函数比较元素的值与其父节点的值，如果子节点的值大于父节点的值，则交换两个节点的值，并把child更新为其父节点的索引，继续向上比较。- 这样循环调整每个元素，可以使整个数组满足堆的性质。
代码及注释：
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
typedef int HPDataType;
#include <stdio.h>
#include <assert.h>
// 交换两个元素的值
void Swap(int* a, int* b)
{
int temp;
temp = *a;
*a = *b;
*b = temp;
}
// 向上调整操作
void AdjustUp(int* a, int child)
{
assert(a);
int parent;
while (child > 0)
{
parent = (child - 1) / 2; // 计算父节点位置
if (a[child] > a[parent]) // 如果子节点的值大于父节点的值
{
Swap(&a[child], &a[parent]); // 交换两个节点的值
child = parent; // child 更新为 parent，继续向上比较
}
else
{
break;
}
}
}
int main()
{
int a[] = {10, 1, 3, 2, 4, 6, 8, 9, 7};
int n = sizeof(a) / sizeof(int);
int i;
for (i = 0; i < n; i++)
{
AdjustUp(a, i); // 对每个节点进行向上调整操作
}
for (i = 0; i < n; i++)
{
printf("%d ", a[i]); // 输出调整后的数组
}
return 0;
}三、堆排序
堆排序是一种基于二叉堆（heap）数据结构的排序算法。它的思想可以概括为以下几个步骤：
构建堆：将待排序的数组视为一个完全二叉树，并将其转化为一个堆。这可通过从最后一个非叶子节点开始，逐个向上调整每个节点来完成。调整操作会使得当前节点和其子树满足堆的性质，即父节点的值大于等于（或小于等于）其子节点的值。这样就构建了一个最大堆（或最小堆）。
排序：经过构建堆操作后，堆顶元素是最大（或最小）的元素。我们可以将堆顶元素与堆中最后一个元素交换位置，然后将堆的大小减小 1。这样，最大（或最小）的元素会被放置到正确的位置（即最后一个位置）。接着，我们对堆顶元素进行向下调整，使得堆再次满足堆的性质。重复以上步骤，直到堆中只剩下一个元素。
返回有序序列：当堆中只剩下一个元素时，所有的元素都已经交换并放置到了正确的位置。此时，我们就得到了一个有序的序列。
堆排序的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 是数组的大小。它是一种原址排序算法，因为它只需要用到原始数组，不需要使用额外的空间。同时，堆排序也是一种稳定的排序算法。
代码及注释：
void AdjustDown(int* a, int parent, int n)
{
// 计算左子节点的索引
int child = parent * 2 + 1;
// 当左子节点在数组范围内时进行循环
while (child < n)
{
// 如果右子节点存在且比左子节点大，则选择右子节点作为与父节点进行比较的子节点
if (child + 1 < n && a[child] < a[child + 1])
{
child++;
}
// 如果父节点小于子节点，则交换它们的值
if (a[parent] < a[child])
{
swap(&a[parent], &a[child]);
// 更新父节点和子节点的索引
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
void HeapSort(int* a, int n)
{
// 从最后一个非叶子节点开始，依次调用 AdjustDown 函数，构建最大堆
int i = 0;
int end = n / 2 - 1;
for (i = end; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(a, i, n);
}
// 交换堆顶元素与最后一个元素，并向下调整堆
for (i = 0; i < n; i++)
{
swap(&a[0], &a[n - i - 1]);
AdjustDown(a, 0, n - i - 1);
}
}
