2023 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 B 题 多波束测线问题完整分享

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要建立多波束测深覆盖宽度的数学模型，考虑矩形待测海域，测线方向与海底坡面的法向在水平面上投影的夹角为𝛽。我们可以使用几何学和三角学原理来构建模型。

首先，我们可以使用给定的参数计算每个测线位置的深度、波束的侧向散射角和覆盖宽度。

1. 计算深度： 深度可以通过以下公式计算：其中，D 是深度，Dcenter​ 是海域中心点处的海水深度，distancedistance 是测量船距海域中心点的距离，slopeslope 是坡度。

2. 计算波束的侧向散射角： 波束的侧向散射角可以通过以下公式计算： 其中，λ 是侧向散射角，beam anglebeam angle 是波束的开角，β 是测线方向夹角。

3. 计算波束的覆盖宽度： 波束的覆盖宽度可以使用之前提到的公式计算： 

问题 3 考虑一个南北长 2 海里、东西宽 4 海里的矩形海域内，海域中心点处的海水深度 为 110 m，西深东浅，坡度为 1.5 ∘，多波束换能器的开角为 120∘。请设计一组测量长度最短、 可完全覆盖整个待测海域的测线，且相邻条带之间的重叠率满足 10%~20% 的要求。

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1. 确定海域参数：

   • 海域长：2 海里
   • 海域宽：4 海里
   • 海水深度：110 m
   • 坡度：1.5°
   • 波束开角：120°

2. 计算波束在不同深度下的覆盖宽度：

   • 使用之前提到的覆盖宽度计算公式，根据不同深度计算出波束的覆盖宽度。

3. 设计测线：

   • 选择合适的测线方向：由于坡度是西深东浅，可以选择南北方向的测线。
   • 确定重叠率：根据要求，相邻条带之间的重叠率应在 10%~20% 之间。
   • 计算最短的测线长度：根据波束覆盖宽度和重叠率要求，计算出最短的测线长度。

问题 4 海水深度数据（附件.xlsx）是若干年前某海域（南北长 5 海里、东西宽 4 海里） 单波束测量的测深数据，现希望利用这组数据为多波束测量船的测量布线提供帮助。在设计测 线时，有如下要求：(1) 沿测线扫描形成的条带尽可能地覆盖整个待测海域；(2) 相邻条带之间 的重叠率尽量控制在 20% 以下；(3) 测线的总长度尽可能短。在设计出具体的测线后，请计算 如下指标：(1) 测线的总长度；(2) 漏测海区占总待测海域面积的百分比；(3) 在重叠区域中， 重叠率超过 20% 部分的总长度。

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1. 定义海域参数：

   • 我们定义了海域的参数，包括海域长、海域宽、坡度和波束开角。这些参数用于后续计算。

2. 计算波束覆盖宽度：

   • 根据给定的海域参数和波束开角，我们计算了在不同深度下波束的覆盖宽度。这是通过数学公式计算得出的。

3. 设计测线：

   • 我们根据计算得到的波束覆盖宽度，设计了测线布局。设计的原则包括：
     • 使沿测线扫描形成的条带尽可能地覆盖整个待测海域。
     • 控制相邻条带之间的重叠率在20%以下。
     • 尽量减少测线的总长度。
   • 我们计算了每个测线的长度和相邻条带之间的重叠率，然后筛选出满足要求的测线。

4. 计算指标：

   • 最后，我们计算了以下指标：
     • 总测线长度：所有满足要求的测线长度之和，这是测线的总长度。
     • 漏测海区占总待测海域面积的百分比：根据漏测的深度数据和海域面积计算出漏测海区在总待测海域面积中的百分比。
     • 在重叠区域中，重叠率超过20%部分的总长度：计算在满足要求的测线中，重叠率超过20%部分的总长度。

附录：