引言
可能大家看到这个标题会不屑一顾,觉得这个还用你教我吗,高等数学最简单的内容。今天突然想到一个问题,就是为什么不定积分会有一个常数 C C C 出现,这个常数 C C C 代表了什么含义呢?这里我将说说个人的看法。
并且我不知道大家有没有想过一个问题,问什么做不定积分的时候我们需要添加常数项 C C C,而当我们做定积分的时候,常数项 C C C 就不见了呢?
正文
不定积分
首先,积分很好理解,比如有一个函数 f ( x ) = 2 x f\left ( x \right ) =2x f(x)=2x。其不定积分可以写为:
∫ 2 x d x = x 2 + C (1) \int 2x\mathrm{d}x=x^2+C \tag{1} ∫2xdx=x2+C(1)
这里为什么要加上常数 C C C 呢?
理解角度1
根据导数的概念我们知道,常数的导数为 0 0 0,也就是说,当我们给不定积分加上常数 C C C 后,我们再做导数,它会回归被积分函数本身。而常数 C C C 可以是任意值,因此,我们为了表示很多个解的集合形式(通解),我们需要添加常数 C C C。
理解角度2
这里我们来看三个函数:
f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 + 2 f ( x ) = x 2 − 2 \begin{align} f\left ( x \right ) &=x^2 \\ f\left ( x \right ) &=x^2 + 2 \\ f\left ( x \right ) &=x^2 - 2 \end{align} f(x)f(x)f(x)=x2=x2+2=x2−2
它们所对应的图像为:
根据导数的定义,导数表示对应点位置处曲线的斜率,那么可以看到,当 x x x 坐标相等时,位于三条不同曲线上的点的斜率是一致的。由此,我们可以知道,对 f ( x ) = x 2 f\left ( x \right ) =x^2 f(x)=x2 这条曲线沿着 y y y 方向上下任意移动都不会改变曲线上相同自变量对应的导数值。
所以,为了获取通解,我们需要为不定积分的结果添加一个常数项。添加常数项后的解实际是无数个解的集合形式。
定积分
如果我们想要求解其在定义域区间 [ 0 , 1 ] \left [ 0,1 \right ] [0,1] 上的定积分,我们可以将 f ( x ) = 2 x f\left ( x \right ) =2x f(x)=2x 写为:
∫ 0 1 2 x d x = x 2 ∣ 0 1 = 1 1 − 0 2 = 1 (4) \int_{0}^{1} 2x\mathrm{d}x=x^2|_0^1=1^1-0^2=1 \tag{4} ∫012xdx=x2∣01=11−02=1(4)
到这里,没有小伙伴们会觉得奇怪吗?你的不定积分的结果是通解,你加上了常数项 C C C,而你的定积分运算时就不加常数项 C C C 了,这是怎么回事,不科学啊!
实际上,(4)式的运算是一个简化过程,实际过程应为:
∫ 0 1 2 x d x = ( x 2 + C ) ∣ 0 1 = 1 2 + C − ( 0 2 + C ) = 1 2 − 0 2 + C − C = 1 2 − 0 2 = 1 \begin{align} \int_{0}^{1} 2x\mathrm{d}x &=\left ( x^2 + C \right ) |_0^1 \nonumber \\ &=1^2+C - \left ( 0^2 + C \right ) \nonumber \\ &=1^2-0^2+C-C\nonumber \\ &=1^2-0^2\nonumber \\ &=1 \tag{5} \end{align} ∫012xdx=(x2+C)∣01=12+C−(02+C)=12−02+C−C=12−02=1(5)
实际上,在运算中,常数项 C C C 消掉了,虽然常数项 C C C 值可以任意取值,但是因为一旦函数给定,那么目标函数的表达式就是确定的,既然是确定的,那么对应的常数 C C C 值也就确定了,因此,在(5)式中的前后两个 C C C 值可以取任意值,但是任意值是相等的,因此,可以消去。
至此,我们完全解释了这个问题。
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