定积分与不定积分

引言

可能大家看到这个标题会不屑一顾，觉得这个还用你教我吗，高等数学最简单的内容。今天突然想到一个问题，就是为什么不定积分会有一个常数 $C$ 出现，这个常数 $C$ 代表了什么含义呢？这里我将说说个人的看法。

并且我不知道大家有没有想过一个问题，问什么做不定积分的时候我们需要添加常数项 $C$，而当我们做定积分的时候，常数项 $C$ 就不见了呢？

正文

不定积分

首先，积分很好理解，比如有一个函数 $f\left(x\right)=2x$。其不定积分可以写为：
$$\int 2x\mathrm{d}x=x^2+C\text{\hspace{1em}(1)}$$
这里为什么要加上常数 $C$ 呢？

理解角度1

根据导数的概念我们知道，常数的导数为 $0$，也就是说，当我们给不定积分加上常数 $C$ 后，我们再做导数，它会回归被积分函数本身。而常数 $C$ 可以是任意值，因此，我们为了表示很多个解的集合形式（通解），我们需要添加常数 $C$。

理解角度2

这里我们来看三个函数：
$$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =x^2\\ f\left(x\right)& =x^2+2\\ f\left(x\right)& =x^2-2\end{array}$$
它们所对应的图像为：

根据导数的定义，导数表示对应点位置处曲线的斜率，那么可以看到，当 $x$ 坐标相等时，位于三条不同曲线上的点的斜率是一致的。由此，我们可以知道，对 $f\left(x\right)=x^2$ 这条曲线沿着 $y$ 方向上下任意移动都不会改变曲线上相同自变量对应的导数值。

所以，为了获取通解，我们需要为不定积分的结果添加一个常数项。添加常数项后的解实际是无数个解的集合形式。

定积分

如果我们想要求解其在定义域区间 $\left[0,1\right]$ 上的定积分，我们可以将 $f\left(x\right)=2x$ 写为：
$${\int }_0^{1}2x\mathrm{d}x=x^2{|}_0^1=1^1-0^2=1\text{\hspace{1em}(4)}$$
到这里，没有小伙伴们会觉得奇怪吗？你的不定积分的结果是通解，你加上了常数项 $C$，而你的定积分运算时就不加常数项 $C$ 了，这是怎么回事，不科学啊！
实际上，（4）式的运算是一个简化过程，实际过程应为：
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{1}2x\mathrm{d}x& =\left(x^2+C\right){|}_0^1\\ & =1^2+C-\left(0^2+C\right)\\ & =1^2-0^2+C-C\\ & =1^2-0^2\\ & =1\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
实际上，在运算中，常数项 $C$ 消掉了，虽然常数项 $C$ 值可以任意取值，但是因为一旦函数给定，那么目标函数的表达式就是确定的，既然是确定的，那么对应的常数 $C$ 值也就确定了，因此，在（5）式中的前后两个 $C$ 值可以取任意值，但是任意值是相等的，因此，可以消去。

至此，我们完全解释了这个问题。

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