CF1988D The Omnipotent Monster Killer
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Problem
怪物们在一棵有 n n n 个顶点的树上,编号为 i ( 1 ≤ i ≤ n ) i(1\le i\le n) i(1≤i≤n) 的怪物位于编号为 i i i 的顶点上,攻击力为 a i a_i ai 。你需要与怪物战斗 1 0 100 10^{100} 10100 个回合。在每个回合中,会依次发生以下两步:
- 所有活着的怪物攻击你。你的生命值会按照所有活体怪物攻击点的总和减少。
- 您选择一些(可以选全部,也可以不选)怪物并杀死它们。被杀死的怪物将不会再进行攻击。
限制条件:在一个回合内不能杀死相邻的两只怪物。
如果您以最佳选择方式攻击的怪物,那么在所有回合后,您的健康值减少的最小值是多少?
1 ≤ t ≤ 1 0 4 , 1 ≤ n ≤ 3 ⋅ 1 0 5 , 1 ≤ a i ≤ 1 0 12 , ∑ n ≤ 3 ⋅ 1 0 5 1\le t\le 10^4,1\le n\le 3\cdot 10^5,1\le a_i \le 10^{12},\sum n\le 3\cdot 10^5 1≤t≤104,1≤n≤3⋅105,1≤ai≤1012,∑n≤3⋅105
Solution
这是一道再经典不过的树形DP了。太惭愧了。
每个节点的贡献可以表示为 w i ⋅ a i w_i\cdot a_i wi⋅ai 的形式,其中 w i w_i wi 表示怪物 i i i 是第 w i w_i wi 次被杀死的。可以证明 w i w_i wi 不会超过 log 2 ( n ) \log_2(n) log2(n) 。
图:Taibo
上图中,欲构造出 w i = x w_i=x wi=x 的点,需要将该点连接上 w = 1 , 2 , … , x − 1 w=1,2,\dots,x-1 w=1,2,…,x−1 的节点。设构造出 max w i = n \max w_i=n maxwi=n 的树至少需要 t o t n tot_n totn 个节点,则存在
t o t n = { 1 n = 1 ∑ i = 1 n − 1 t o t i + 1 n ≥ 2 \begin{gather} tot_n= \begin{cases} & 1 & n=1\\ & \sum_{i=1}^{n-1}tot_i +1 & n\ge 2 \end{cases} \end{gather} totn={1∑i=1n−1toti+1n=1n≥2
即得 t o t n = 2 n tot_n=2^n totn=2n 。也就是说对于一张 n n n 个节点的图,其至多需要 log 2 ( n ) \log_2(n) log2(n) 次选择就可以将所有怪物杀死。
下面开始dp。设 d p x , k dp_{x,k} dpx,k 表示若第 k k k 次杀死怪物 x x x , x x x 子树内的怪物至少会产生多少点伤害。
d p x , k dp_{x,k} dpx,k 由两部分组成:
- 在第 k k k 次杀死怪物 x x x 之前,怪物 x x x 会产生 k ⋅ a x k\cdot a_x k⋅ax 点伤害。
- x x x 的子树内的怪物(除了 x x x 本身)产生的伤害。
d p x , k = k ⋅ a x + ∑ y ∈ u ( x ) min j ≠ k d p y , j \begin{gather} dp_{x,k}=k\cdot a_x + \sum_{y\in u(x)}\min_{j\not =k} dp_{y,j} \end{gather} dpx,k=k⋅ax+y∈u(x)∑j=kmindpy,j
其中 u ( x ) u(x) u(x) 表示点 x x x 的儿子节点。
最后答案为 min d p r o o t , k \min dp_{root,k} mindproot,k
Code
#define N 300010
int n;
int head[N],nxt[N*2],ver[N*2],cnt;
void insert(int x,int y)
{
nxt[++cnt]=head[x];
head[x]=cnt;
ver[cnt]=y;
}
LL a[N];
#define K 25
#define inf (1ll<<62)
LL dp[N][K+5];
void dfs(int x,int f)
{
for(int i=1;i<=K;i++)
{
dp[x][i]=a[x]*i;
}
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int y=ver[i];
if(y==f) continue;
dfs(y,x);
for(int j=1;j<=K;j++)//点x将被第j次选
{
LL mn=inf;
for(int k=1;k<=K;k++)//相邻点y将被第k次选
{
if(j!=k)
{
mn=min(mn,dp[y][k]);
}
}
dp[x][j]+=mn;
}
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cout.precision(10);
int t=1;
cin>>t;
while(t--)
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;cin>>x>>y;
insert(x,y);
insert(y,x);
}
dfs(1,0);
LL ans=inf;
for(int i=1;i<=K;i++)
{
ans=min(ans,dp[1][i]);
}
cout<<ans<<endl;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
head[i]=nxt[i]=ver[i]=0;
}
cnt=0;
}
return 0;
}