算法学习1——排序算法（1）

排序算法是计算机科学中的基础算法，用于将元素按照一定的顺序排列。排序算法有多种，每种都有其适用场景和优缺点。本文将介绍几种常见的排序算法，并给出每种算法的 Python 实现。

冒泡排序 (Bubble Sort)

冒泡排序是一种简单的排序算法，通过重复遍历要排序的列表，比较相邻的元素并交换它们的位置来排序。

原理

1. 从列表的第一个元素开始，比较每一对相邻元素，如果前一个元素比后一个元素大，则交换它们。
2. 对每一对相邻元素进行上述操作，直到没有任何交换为止。

代码实现

def bubble_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        for j in range(0, n-i-1):
            if arr[j] > arr[j+1]:
                arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]
    return arr

# 测试
arr = [64, 34, 25, 12, 22, 11, 90]
print("Sorted array:", bubble_sort(arr))

选择排序 (Selection Sort)

选择排序通过反复找到未排序部分的最小元素，将其移到已排序部分的末尾。

原理

1. 找到列表中最小的元素，将其与列表的第一个元素交换。
2. 在剩余未排序元素中找到最小的元素，将其与列表的第二个元素交换。
3. 重复上述步骤，直到所有元素均排序完毕。

代码实现

def selection_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n):
        min_idx = i
        for j in range(i+1, n):
            if arr[j] < arr[min_idx]:
                min_idx = j
        arr[i], arr[min_idx] = arr[min_idx], arr[i]
    return arr

# 测试
arr = [64, 25, 12, 22, 11]
print("Sorted array:", selection_sort(arr))

插入排序 (Insertion Sort)

插入排序通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。

原理

1. 从第一个元素开始，该元素可以认为已经被排序。
2. 取出下一个元素，在已经排序的元素序列中从后向前扫描。
3. 如果该元素（已排序）大于新元素，将该元素移到下一位置。
4. 重复步骤 3，直到找到已排序的元素小于或者等于新元素的位置。
5. 将新元素插入到该位置中。

代码实现

def insertion_sort(arr):
    for i in range(1, len(arr)):
        key = arr[i]
        j = i-1
        while j >= 0 and key < arr[j]:
            arr[j + 1] = arr[j]
            j -= 1
        arr[j + 1] = key
    return arr

# 测试
arr = [12, 11, 13, 5, 6]
print("Sorted array:", insertion_sort(arr))

归并排序 (Merge Sort)

归并排序采用分治法的思想，将数据序列分成较小的序列，然后将排好序的子序列合并，最终得到排好序的序列。

原理

1. 将序列从中间分割成两个子序列。
2. 递归地对两个子序列进行归并排序。
3. 合并两个已排序的子序列。

代码实现

def merge_sort(arr):
    if len(arr) > 1:
        mid = len(arr) // 2
        L = arr[:mid]
        R = arr[mid:]

        merge_sort(L)
        merge_sort(R)

        i = j = k = 0

        while i < len(L) and j < len(R):
            if L[i] < R[j]:
                arr[k] = L[i]
                i += 1
            else:
                arr[k] = R[j]
                j += 1
            k += 1

        while i < len(L):
            arr[k] = L[i]
            i += 1
            k += 1

        while j < len(R):
            arr[k] = R[j]
            j += 1
            k += 1

    return arr

# 测试
arr = [12, 11, 13, 5, 6, 7]
print("Sorted array:", merge_sort(arr))

快速排序 (Quick Sort)

快速排序通过选择一个基准元素，将序列分成两部分，其中一部分的元素比基准元素小，另一部分元素比基准元素大，然后递归地对两部分进行快速排序。

原理

1. 选择一个基准元素。
2. 重新排序数组，所有小于基准元素的元素放在基准前面，所有大于基准元素的元素放在基准后面。
3. 递归地对基准前后的子数组进行快速排序。

代码实现

def quick_sort(arr):
    if len(arr) <= 1:
        return arr
    pivot = arr[len(arr) // 2]
    left = [x for x in arr if x < pivot]
    middle = [x for x in arr if x == pivot]
    right = [x for x in arr if x > pivot]
    return quick_sort(left) + middle + quick_sort(right)

# 测试
arr = [10, 7, 8, 9, 1, 5]
print("Sorted array:", quick_sort(arr))

堆排序 (Heap Sort)

堆排序利用堆这种数据结构来排序。堆是一种特殊的完全二叉树，分为大顶堆和小顶堆。堆排序的时间复杂度为 O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)。

原理

1. 将序列构建成一个大顶堆。
2. 将堆顶元素与末尾元素交换，使末尾元素为最大。
3. 然后重新调整结构，使其满足堆的性质。
4. 重复步骤 2，直到整个序列有序。

代码实现

def heapify(arr, n, i):
    largest = i
    l = 2 * i + 1
    r = 2 * i + 2

    if l < n and arr[l] > arr[largest]:
        largest = l

    if r < n and arr[r] > arr[largest]:
        largest = r

    if largest != i:
        arr[i], arr[largest] = arr[largest], arr[i]
        heapify(arr, n, largest)

def heap_sort(arr):
    n = len(arr)
    for i in range(n // 2 - 1, -1, -1):
        heapify(arr, n, i)

    for i in range(n-1, 0, -1):
        arr[i], arr[0] = arr[0], arr[i]
        heapify(arr, i, 0)

    return arr

# 测试
arr = [12, 11, 13, 5, 6, 7]
print("Sorted array:", heap_sort(arr))