核函数支持向量机（Kernel SVM）

核函数支持向量机（Kernel SVM）是一种非常强大的分类器，能够在非线性数据集上实现良好的分类效果。以下是关于核函数支持向量机的详细数学模型理论知识推导、实施步骤与参数解读，以及两个多维数据实例（一个未优化模型，一个优化后的模型）的完整分析。

一、数学模型理论推导

1.1 线性支持向量机

支持向量机的目标是找到一个超平面，以最大化两类数据点之间的间隔。对于线性可分的数据，支持向量机的目标可以用以下优化问题来表示：

1.2 非线性支持向量机

二、实施步骤与参数解读

2.1 选择核函数

常用的核函数有：

2.2 参数选择

• C：控制分类错误与间隔的权衡。值越大，分类错误越少，但间隔越小，容易过拟合。
• ：控制RBF核的宽度。值越大，高斯分布越窄，模型复杂度越高，容易过拟合。

三、多维数据实例

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.svm import SVC
from sklearn.datasets import make_classification
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import classification_report

# 生成数据
X, y = make_classification(n_samples=300, n_features=2, n_informative=2, n_redundant=0, n_clusters_per_class=1, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

# 未优化的核函数SVM模型
model = SVC(kernel='rbf', C=1.0, gamma='scale')
model.fit(X_train, y_train)

# 预测与结果分析
y_pred = model.predict(X_test)
print("未优化模型分类报告：")
print(classification_report(y_test, y_pred))

# 可视化结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], c=y_test, cmap='coolwarm', s=30, edgecolors='k')
plt.title("未优化的核函数SVM分类结果", fontname='KaiTi')
plt.show()
# 优化后的核函数SVM模型
model_optimized = SVC(kernel='rbf', C=10.0, gamma=0.1)
model_optimized.fit(X_train, y_train)

# 预测与结果分析
y_pred_optimized = model_optimized.predict(X_test)
print("优化后模型分类报告：")
print(classification_report(y_test, y_pred_optimized))

# 可视化结果
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.scatter(X_test[:, 0], X_test[:, 1], c=y_test, cmap='coolwarm', s=30, edgecolors='k')
plt.title("优化后的核函数SVM分类结果", fontname='KaiTi')
plt.show()

四、结果与结果解释

4.1 未优化模型

• 分类报告显示了精度、召回率和F1分数等指标。
• 可视化图展示了未优化模型的分类边界和测试集数据点。

4.2 优化后的模型

• 优化后模型的分类报告通常会显示更高的精度、召回率和F1分数，表明模型性能提升。
• 优化后的可视化图展示了改进后的分类边界，更好地分隔了数据点。