Floyd 算法 求最短路

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练习题目：力扣 - 1334

简介：

• 初始化：我们先把题目给的，两点直接相连的边的加入初始存在连接中。
• 更新：然后每次只加入一个点对已有合法连接进行“拓展”更多的连接。
• 结果：那么所有点加入后，即为整个图的连接状况。

定义一个数组 f[ k ][ a ][ b ]，表示只允许经过结点 1 到 k，结点 a 到结点 a 的最短路长度。

f[ 0 ][ a ][ b ] 就是不经过任何点时，点 a 与点 b 之间的距离。题目给的所有两点的连接都存入。其余都初始化为无穷大（如：0x3f3f3f3f）

更新举例：
f[ 1 ][ a ][ b ] = min( f[ 1 ][ a ][ b ] , f[ 0 ][ a ][ 1 ] + f[ 0 ][ 1 ][ b ] );
对当前连接（k == 1）取最小值，而 k == 0我们刚才所有的都初始化好了。

板子：

//### 初始化 #####################################
//直接相连的边加入
//以及自己和自己
		for(auto& arr:edges){
            f[arr[0]+1][arr[1]+1] = min(arr[2],f[arr[0]+1][arr[1]+1]);//应对多条重边
            f[arr[1]+1][arr[0]+1] = min(arr[2],f[arr[1]+1][arr[0]+1]);
        }
        for(int a=1;a<=n;a++){
            f[a][a] = 0;
        }
        
//*** 动态规划来更新 ******************************
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int a=1;a<=n;a++){
                for(int b=1;b<=n;b++){
                    f[i][a][b] = min(f[i-1][a][b],f[i-1][a][i]+f[i-1][i][b]);
                }
            }
        }

内存优化：

for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int a=1;a<=n;a++){
                for(int b=1;b<=n;b++){
                    f[a][b] = min(f[a][b],f[a][i]+f[i][b]);
                }
            }
        }

证明：

核心就是：对于每个f[i][a][b]要的都是【 i 列最小 + i 行最小 】，而“在原地进行更改也不会改变最小值的值”。因为你永驻这一行这一列。而且是求和啊，肯定比这一行这一列的最小值要大的。