174. 地下城游戏
题目描述:
二维矩阵,每个点都有一个价值,起点是左上角(1, 1),终点是右下角(n, m),初始价值为一个未知的正整数,每次只能往下或者往右走一步,到达一个新的点都要加上这个点的价值,过程中要保证总价值每时每刻的都要大于0(包括初始值),求所需的最小初始价值
思路:
一眼dp
这个题很显然可以转换成找一条路径,将路径上的价值看成一个数组,做前缀和,求前缀和数组的最小值 m i n x minx minx,答案就是 m a x ( 1 , 1 − m i n x ) max(1, 1-minx) max(1,1−minx)
可以发现,我们需要在遍历的过程中维护两个变量,一个是从出发点到当前点的路径和,另一个是从出发点到当前点的所需的最小初始值
我们希望 从出发点到当前点的路径和 尽可能大,而 从出发点到当前点所需的最小初始值 尽可能小。这样转移方式也有两种,选择1会对后面的2好,选择2会对后面的1好,这两种转移方式各有优劣,其重要程度是相当的,会同时影响状态转移,这样的动态规划是不满足无后效性的
所以我们逆向考虑,考虑另一种状态:从 ( i , j ) (i, j) (i,j)到 ( n , m ) (n, m) (n,m)所需要的最小初始值,此时我们不需要考虑从 ( 1 , 1 ) (1,1) (1,1)到 ( i , j ) (i,j) (i,j)的路径和,所以状态转移方式是:
d p [ i ] [ j ] = m a x ( m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) − a r [ i ] [ j ] , 1 ) dp[i][j] = max(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])-ar[i][j], 1) dp[i][j]=max(min(dp[i−1][j],dp[i][j−1])−ar[i][j],1)
这个时候我们从右下角往左上角遍历,然后处理好边界就行
class Solution {
public:
int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {
int n = dungeon.size(), m = dungeon[0].size();
vector<vector<int>>dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 1e9));
for(int i = n - 1; i >= 0; --i){
for(int j = m - 1; j >= 0; --j){
if(i == n - 1 && j == m - 1)dp[i][j] = max(1, -dungeon[i][j]+1);
else dp[i][j] = max(1, min(dp[i + 1][j], dp[i][j + 1]) - dungeon[i][j]);
}
}
return dp[0][0];
}
};