数学基础 三角函数、两条平行线截距

三角函数变化公式

已知两条平行线，其中一条的起始点p1，p2，其中一条直线 p3，p4计算两条直线之间的截距

在二维平面上，当我们说“两条直线之间的截距”时，这通常意味着我们需要找到一条与这两条直线都相交的直线，并计算这条相交直线与给定直线的交点坐标，进而可能通过交点坐标来讨论“截距”的概念。但直接计算“两条直线之间的截距”并不是一个标准的几何术语，因为它依赖于我们如何定义和选择这条相交直线。

不过，如果我们假设你想要计算的是从某一点（比如原点或其他给定点）出发，到这两条直线的垂直距离（这可以看作是一种“截距”的度量，尽管不是传统意义上的），那么我们可以使用点到直线的距离公式。

但首先，我们需要明确两条直线的方程。由于你给出了两条直线的起点（p1
​ ,p 2 和 p 3,p4），但没有直接给出直线的斜率或方程，我们假设这些点加上额外的信息（如斜率或第二个点）可以用来确定直线的方程。

为了简化，我们假设：

直线1通过点p 1 (x 1 ,y 1 )和p 2 (x 2 ,y 2 )，其方程可以表示为 y−y 1 =m 1 (x−x 1 )，
其中 m 1 是斜率，可以通过两点式 m 1 = x 2 −x 1y 2 −y 1
​ 计算（注意分母不能为零）。
直线2通过点p 3 (x 3 ,y 3 )和p 4 (x 4 ,y 4 )，其方程可以表示为 y−y 3 =m 2 (x−x 3 )，】其中 m 2 是斜率，同样通过两点式计算。
然而，你提到的是“其中一条的起始点p1，p2”和“其中一条直线 p3，p4”，这里似乎有些混淆。如果p 3 ,p 4
​ 不是点而是另一条直线的方程（比如以某种形式给出），那么我们需要先将其转换为标准形式或斜率截距形式。但基于你的描述，我假设p3 ,p 4
​
是点，并且我们实际上是在处理两条通过这两对点确定的直线。

现在，如果你想要计算从某个给定点（比如原点(0,0)）到这两条直线的垂直距离，你可以使用点到直线的距离公式：

​
你需要先将直线的方程从斜率截距式转换为一般式（即解出A, B, C的值），然后应用上述公式。

但请注意，如果你的目标是找到两条平行线之间的最小距离（即它们之间的等距），那么你应该直接计算其中一条直线上任意一点到另一条直线的垂直距离，因为这个距离对于该直线上的所有点都是相同的。

给出一个向量vec（x，y，z），给出一个点集合，这个点集合在同一条直线上且直线和向量平行，求按向量顺序的点集合

c#代码实现

以下是使用 C# 实现根据给定向量顺序排列点集合的示例代码：

using System;
using System.Collections.Generic;

public class Point
{
    public double X { get; }
    public double Y { get; }
    public double Z { get; }

    public Point(double x, double y, double z)
    {
        X = x;
        Y = y;
        Z = z;
    }
}

class Program
{
    // Function to compute the dot product of two vectors
    static double DotProduct(Point p1, Point p2)
    {
        return p1.X * p2.X + p1.Y * p2.Y + p1.Z * p2.Z;
    }

    // Function to compute the magnitude of a vector
    static double Magnitude(Point p)
    {
        return Math.Sqrt(p.X * p.X + p.Y * p.Y + p.Z * p.Z);
    }

    // Comparator function for sorting points based on their projection on vector v
    static bool ComparePoints(Point p1, Point p2, Point v)
    {
        double projection1 = DotProduct(p1, v) / Magnitude(v);
        double projection2 = DotProduct(p2, v) / Magnitude(v);
        return projection1 < projection2;
    }

    static void Main()
    {
        // Example vector and points
        Point vec = new Point(1, 2, 3);
        List<Point> points = new List<Point>
        {
            new Point(3, 6, 9),
            new Point(1, 2, 3),
            new Point(-2, -4, -6)
        };

        // Sort points based on their projection on vector vec
        points.Sort((p1, p2) => ComparePoints(p1, p2, vec) ? -1 : 1);

        // Output sorted points
        Console.WriteLine("Sorted points according to vector (1, 2, 3):");
        foreach (var point in points)
        {
            Console.WriteLine($"({point.X}, {point.Y}, {point.Z})");
        }
    }
}

说明：

• Point 类表示一个三维空间中的点，具有 X、Y、Z 属性。
• DotProduct 方法计算两个向量的点积。
• Magnitude 方法计算向量的模长。
• ComparePoints 方法是比较函数，根据点在给定向量 v 的投影大小来排序点集合。
• Main 方法中给定了一个示例向量 vec(1, 2, 3) 和点集合 points，然后利用 Sort 方法和 ComparePoints 方法对点集合进行排序。
• 最终输出按照向量 (1, 2, 3) 方向顺序排列的点集合。

这段代码演示了如何用 C# 实现根据给定向量顺序排列点集合的功能。
参考