正向传播和反向传播

正向传播（Forward Propagation）

正向传播是指将输入数据通过神经网络，计算出预测值的过程。具体步骤如下：

1. 输入层：接受输入数据。
2. 隐藏层：每个隐藏层中的神经元接收上一层的输出，进行加权求和，再经过激活函数得到输出。
3. 输出层：最后一层的神经元将隐藏层的输出再次加权求和并通过激活函数，得到最终的预测结果。

上图是一个简单的二层神经网络

正向传播的公式如下（以简单的单层网络为例）：

是权重矩阵，是输入向量，是偏置向量，是激活函数，是输出结果

反向传播（Backward Propagation）

反向传播是指根据损失函数计算出的误差，通过链式法则（Chain Rule）逐层计算并更新网络中的参数（权重和偏置）以最小化误差的过程。具体步骤如下：

1. 计算损失：使用损失函数计算预测值与真实值之间的误差。例如，使用均方误差（MSE）或交叉熵损失。
2. 误差反向传播：从输出层开始，计算损失相对于每个参数的梯度。通过链式法则，将梯度逐层传递回去。
3. 参数更新：使用优化算法（如梯度下降）更新每个参数，使损失最小化。参数更新公式如下：

是更新前的权重，是更新后的权重，是学习速率，是损失函数相对于权重的梯度。

关系与作用

• 信息传递：正向传播将输入数据的信息从输入层传递到输出层，计算模型的预测结果；反向传播根据损失函数的梯度信息，将误差信号从输出层传递回每一层的参数，用于参数的更新。
• 依赖关系：反向传播依赖于正向传播的计算结果。只有在进行了正向传播并得到预测结果后，才能计算损失函数并使用链式法则进行梯度计算。
• 整体学习过程：正向传播和反向传播是神经网络学习过程中不可或缺的两个步骤。正向传播计算预测结果，反向传播根据预测结果与真实标签的差距来调整模型参数，使得模型在训练过程中不断优化。

通过正向传播和反向传播的结合，神经网络能够根据输入数据学习并调整参数，从而实现对复杂问题的有效建模和预测。

示例：神经网络训练过程

假设我们有一个简单的神经网络模型，包含一个输入层、一个隐藏层和一个输出层，具体如下

• 网络结构：

• 输入层：2个特征输入
• 隐藏层：3个神经元，使用ReLU激活函数
• 输出层：1个神经元，使用sigmoid激活函数

• 正向传播（Forward Propagation）：

  在正向传播过程中，我们将输入数据  通过网络层，计算得到模型的预测输出 。

  其中：

  正向传播计算出了模型的预测输出 ，即模型对输入数据的预测结果。

  • 输入层到隐藏层：      
  • 隐藏层到输出层：     
  •  是输入特征向量。
  • 是隐藏层的权重和偏置。
  • 是输出层的权重和偏置。
  • 是激活函数。
  •  是sigmoid激活函数。

• 损失计算：

  使用损失函数 计算预测输出 ​ 与真实标签  之间的差异。

• 反向传播（Backward Propagation）：

  反向传播根据损失函数的梯度，从输出层向隐藏层和输入层传播，计算每个参数的梯度并更新参数。

  其中，表示逐元素相乘， 是ReLU激活函数的导数。

  • 计算输出层的梯度：

    
  • 
  • 

  • 计算隐藏层的梯度：

    
  • 
  • 

相互依赖性的体现

1. 信息流动：

   • 正向传播计算出预测结果 ，反向传播使用  和真实标签 的差异来计算梯度。
   • 反向传播的梯度计算依赖于正向传播的预测输出 ​，因为梯度是基于损失函数对输出层的输出（即 ​）的导数计算的。

2. 参数更新：

   • 反向传播计算出的梯度用于更新神经网络的参数（权重和偏置）。
   • 更新后的参数影响到下一次的正向传播，从而影响到预测输出 ​ 的计算结果。

3. 迭代优化：

   • 每一次迭代中，正向传播计算出新的预测结果，反向传播根据这些预测结果计算出新的梯度，并用于参数更新。
   • 这种正向传播和反向传播的迭代过程不断优化模型，使得模型能够逐步逼近最优解。