以下内容为结合李沐老师的课程和教材补充的学习笔记，以及对课后练习的一些思考，自留回顾，也供同学之人交流参考。
本节课程地址：本节无视频课程
本节教材地址：4.7. 前向传播、反向传播和计算图 — 动手学深度学习 2.0.0 documentation (d2l.ai)
本节开源代码：...>d2l-zh>pytorch>chapter_multilayer-perceptrons>backprop.ipynb
本节教材内容推导详细，没有补充，直接跳到练习。
练习
- 假设一些标量函数
的输入
矩阵。
相对于
解：
对于标量函数 相对于
的梯度，它的维度与
的维度相同，即
。每个元素 (𝑖,𝑗) 将表示
相对于
的第 𝑖 行第 𝑗 列元素的偏导数。
2. 向本节中描述的模型的隐藏层添加偏置项（不需要在正则化项中包含偏置项）。
a. 画出相应的计算图。
解：
b. 推导正向和反向传播方程。
解：
正向传播：
反向传播：
3. 计算本节所描述的模型，用于训练和预测的内存占用。
解：
假设采用Fashion-MNIST数据集，单个隐藏层（256），输入784，输出10，wd为0.5，运行1个epoch，代码和比较结果如下（预测所用内存较小）：
import torch
from torch import nn
import torch.optim as optim
import psutil
from d2l import torch as d2l
net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
nn.Linear(784, 256),
nn.ReLU(),
nn.Linear(256, 10))
def init_weights(m):
if type(m) == nn.Linear:
nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)
net.apply(init_weights)
batch_size, lr, wd = 256, 0.1, 0.5
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='none')
trainer = torch.optim.SGD([
{"params":net[1].weight,'weight_decay': wd},
{"params":net[1].bias},
{"params":net[3].weight,'weight_decay': wd},
{"params":net[3].bias}], lr=lr)
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
# 计算模型参数的内存占用
# 以MB为单位(/(1024**2))
d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
train_memory = round(psutil.Process().memory_info().rss / (1024 ** 2), 2)
# 释放训练过程中的内存
del train_iter
net.zero_grad()
trainer.zero_grad()
d2l.evaluate_accuracy(net, test_iter)
test_memory = round(psutil.Process().memory_info().rss / (1024 ** 2), 2)
print(f'Memory for Train: {train_memory} MB')
print(f'Memory for Test: {test_memory} MB')Memory for Train: 483.33 MB
Memory for Test: 438.46 MB
4. 假设想计算二阶导数。计算图发生了什么？预计计算需要多长时间？
解：
想计算二阶导数，首先，必须保留反向传播的中间值，设置.backward(retain_graph=True)；然后，使用自动求导torch.autograd.grad()计算二阶导数，需要设置create_graph=True，即在计算完梯度后保留计算图以便进行高阶导数计算。
计算二阶导数的时间开销更大，假设仍采用Fashion-MNIST数据集，和本节提到的模型，代码以及计算一阶和二阶导数花费的时间比较如下（大概是计算一阶导数所需时间的5倍）：
import time
net = nn.Sequential(nn.Flatten(),
nn.Linear(784, 256),
nn.ReLU(),
nn.Linear(256, 10))
def init_weights(m):
if type(m) == nn.Linear:
nn.init.normal_(m.weight, std=0.01)
net.apply(init_weights)
batch_size, lr, wd = 256, 0.1, 0.5
# torch.autograd.grad()的输出必须是标量
# reduction='mean'确保输出是标量
loss = nn.CrossEntropyLoss(reduction='mean')
trainer = torch.optim.SGD([
{"params":net[1].weight,'weight_decay': wd},
{"params":net[1].bias},
{"params":net[3].weight,'weight_decay': wd},
{"params":net[3].bias}], lr=lr)
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
def Caculate_derivative(params):
for X, y in train_iter:
# 计算梯度并更新参数
y_hat = net(X)
l = loss(y_hat, y)
break
# 保留计算图的中间值retain_graph=True
l.backward(retain_graph=True)
time1 = time.time()
grad1_w = torch.autograd.grad(l, params, create_graph=True)
time2 = time.time()
# 对一阶导数取平均，转为标量
out = grad1_w[0].mean()
out.backward(retain_graph=True)
grad2_w = torch.autograd.grad(out, params)
time3 = time.time()
return time2-time1, time3-time1
# 分别计算对w1和w2求一阶、二阶导数的时间
w1_1st, w1_2nd = Caculate_derivative(net[1].weight)
w2_1st, w2_2nd = Caculate_derivative(net[3].weight)
print("Calculation time for 1st derivative: {:.4f} seconds".format(w1_1st + w2_1st))
print("Calculation time for 2nd derivative: {:.4f} seconds".format(w1_2nd + w2_2nd))Calculation time for 1st derivative: 0.0016 seconds
Calculation time for 2nd derivative: 0.0077 seconds
5. 假设计算图对当前拥有的GPU来说太大了。
a. 请试着把它划分到多个GPU上。
解：
如果是数据过大，可用数据并行，将批处理数据分布到多个GPU上，每个GPU上都有一个完整的模型副本，并且在每个GPU上计算损失和梯度。然后，通过收集每个GPU上的梯度并进行同步，更新模型参数。这种方法适用于可以完整复制到每个GPU内存的模型。可以使用torch.nn.DataParallel模块实现数据并行。
如果是模型太大，无法完全放入单个GPU内存，可用模型并行，是指将模型的不同部分分布到多个GPU上，并在每个GPU上进行计算。需要手动分配不同部分的模型到不同的GPU上，并自定义前向传播和反向传播来实现模型并行。
b. 与小批量训练相比，有哪些优点和缺点？
解：
优点是多个GPU可以增加内存容量、加快训练速度并承载更大的批量；
缺点是在多个GPU之间传输数据和梯度需要额外的通信开销，这可能成为训练过程中的瓶颈，尤其是在GPU之间频繁交换大量数据时，当通信开销超过了并行计算所带来的性能提升时，效率反而下降，并且多GPU训练的模型参数同步需要额外的同步机制。
