【数学建模】数据的无量纲化处理 2005建模A题:长江水质综合评价与预测

数据的无量纲化处理是一种统计学中的预处理技术，主要用于消除数据中的量纲影响，使得不同单位或量级的指标可以相互比较和结合。无量纲化通过调整数据的范围或尺度，使得数据集中的每个特征或变量处于相似的数值区间内。以下是几种常见的无量纲化处理方法：

1. 极值化（Min-Max Scaling 或 归一化 Normalization）：
   

2. 标准化（Standardization 或 Z-score normalization）：
   

3. 均值化（Mean Normalization）：
   

在具体应用中，选择哪种无量纲化方法取决于数据的特点和后续分析的需求。例如，如果数据的分布未知或非正态，可能更倾向于使用极值化；如果数据的分布接近正态，则标准化可能更为合适。

示例：
假设我们有两个指标，一个是员工的年龄（范围从20到60），另一个是他们每天的步数（范围从5000到30000）。如果我们想对这两个指标进行比较，我们需要首先进行无量纲化处理。

对于年龄，假设最小值是20岁，最大值是60岁。使用极值化公式，我们可以将年龄缩放到[0, 1]的范围内。对于步数，同样地，我们可以用同样的方法进行缩放。这样，处理后的数据就可以在同一尺度上进行比较和分析了。

在进行综合评价之前，确实需要对评价指标进行标准化处理，以消除不同量纲和量级的影响。这个过程称为无量纲化，它确保了所有指标可以在同一尺度上比较，避免了综合评价中的偏差。对于效益型、成本型和固定型指标，无量纲化的方式有所不同。

给定的实测数据矩阵 (X) 和评价标准矩阵 (Y) 如下所示：

其中，(X) 表示实测数据，(Y) 表示评价标准。接下来，我们构建无量纲化后的实测数据矩阵 (A) 和等级标准矩阵 (B)。

无量纲化方法

对于 效益型指标，使用最大值标准化，即 (\frac{x_{ij}}{\max(x_j)})。

对于 成本型指标，使用最小值标准化，即 (\frac{x_{ij}}{\min(x_j)})。

对于 固定型指标，可以使用目标值标准化，即 (\left|\frac{x_{ij}-target_j}{target_j}\right|)，其中 (target_j) 是目标值。

建立无量纲化矩阵

对于实测数据矩阵 (X) 中的每一列（即每一个评价指标），根据其属性应用上述方法进行无量纲化，得到无量纲化实测数据矩阵 (A)。

同样地，对评价标准矩阵 (Y) 进行相应的无量纲化处理，得到无量纲化等级标准矩阵 (B)。

例如，对于 总磷（效益型指标），使用最大值标准化；对于 耗氧量（成本型指标），使用最小值标准化；对于 透明度 和 总氨（假设为固定型指标），使用目标值标准化。

这样，通过无量纲化处理后，所有的指标都在同一尺度上，可以进行下一步的综合评价计算，比如使用加权平均法、TOPSIS法或其他多准则决策方法来得出最终的综合评价结果。

要对湖泊水质的富营养化进行综合评价，我们首先需要分析给定的四个指标（总磷、耗氧量、透明度、总氨）对水质评价的影响。富营养化通常是由过量的营养物质，尤其是磷和氮，导致藻类过度生长引起的，这会影响水体的透明度和溶解氧水平。接下来，我们将依据给定的评价标准，对这四个指标进行分析，并对湖泊水质进行综合评价。

分析指标作用

1. 总磷（Total Phosphorus）：总磷是富营养化的主要驱动因素，高浓度的总磷会导致藻类大量繁殖，加速富营养化进程。西湖、东湖和巢湖的总磷浓度远高于青海湖和滇池，显示出更高的富营养化风险。

2. 耗氧量（Chemical Oxygen Demand, COD）：耗氧量反映水中有机物含量，间接指示富营养化程度。西湖、东湖和巢湖的耗氧量较高，说明这些湖泊中可能有较多的有机污染物，这与总磷浓度高的趋势一致。

3. 透明度（Transparency）：低透明度往往与高藻类密度相关，藻类过多会降低水体的透明度。西湖、东湖和巢湖的透明度较低，表明藻类密度可能较高，滇池的透明度相对较好，但总磷和总氨的浓度仍显示其富营养化问题。

4. 总氨（Total Ammonia）：总氨是另一种重要的营养盐，虽然其对富营养化的影响不如总磷明显，但高浓度的总氨仍能促进藻类生长。西湖和巢湖的总氨浓度较高，表明它们也面临着氮源富营养化的压力。

综合评价

为了综合评价湖泊水质，我们将对照湖泊水质评价标准（表2-3），对每个湖泊进行等级评定。由于评价标准未提供确切的数值界限，我们将使用给出的区间进行大致判断。

杭州西湖

• 总磷：富营养
• 耗氧量：富营养
• 透明度：极富营养
• 总氨：中营养

综合来看，西湖水质等级接近富营养至极富营养。

武汉东湖

• 总磷：富营养
• 耗氧量：富营养
• 透明度：极富营养
• 总氨：贫营养

东湖水质等级接近富营养至极富营养。

青海湖

• 总磷：贫营养
• 耗氧量：贫营养
• 透明度：中营养
• 总氨：贫营养

青海湖水质等级接近贫营养。

巢湖

• 总磷：中营养
• 耗氧量：中营养
• 透明度：极富营养
• 总氨：贫营养

巢湖水质等级接近中营养至富营养。

滇池

• 总磷：贫营养
• 耗氧量：富营养
• 透明度：贫营养
• 总氨：贫营养

滇池水质等级接近贫营养至富营养。

综上所述，西湖、东湖和巢湖面临较为严重的富营养化问题，而青海湖和滇池的状况相对较好，但仍存在局部富营养化现象。对于治理措施，应当针对总磷和总氨的来源进行管控，比如减少农业面源污染，加强污水处理，控制入湖污染物排放，同时实施生态修复工程，提升湖泊自净能力。

% 实测数据矩阵
X = [130 10.3 0.35 2.76;
     105 10.7 0.4 2.0;
     20 1.4 4.5 0.22;
     30 6.26 0.25 1.67;
     20 10.13 0.5 0.23];

% 评价标准矩阵
Y = [1 4 23 110 660;
     0.09 0.36 1.8 7.1 27.1;
     37 12 2.4 0.55 0.17;
     0.02 0.06 0.31 1.2 4.6];

% 无量纲化处理
% 假设第1列和第2列为成本型指标，第3列和第4列为效益型指标
A1 = X(:,1) ./ max(X(:,1)); % 成本型指标 - 总磷
A2 = X(:,2) ./ max(X(:,2)); % 成本型指标 - 耗氧量
A3 = X(:,3) ./ min(X(:,3)); % 效益型指标 - 透明度
A4 = X(:,4) ./ min(X(:,4)); % 效益型指标 - 总氨
A = [A1 A2 A3 A4];

% 标准化评价标准
% 假设第1列至第5列为成本型指标
B = Y / max(Y); % 所有指标视为成本型指标进行标准化

% 计算权重
w = std(B) ./ sum(std(B));

% 计算距离
% 注意：dist() 和 mandist() 不是MATLAB内置函数，需要自定义或使用其他函数代替
% 这里使用欧式距离作为示例
jd = sqrt(sum((A - B') .^ 2, 2));
mjd = jd; % 假设 mjd 为某种距离计算方式，这里直接使用欧式距离

% 输出结果
disp('标准化后的实测数据矩阵 A:');
disp(A);
disp('标准化后的评价标准矩阵 B:');
disp(B);
disp('权重 w:');
disp(w);
disp('距离 jd:');
disp(jd);