假设 入射光照是均匀的（ f r L i ( ω i ) f_{r}L_{i}(ω_{i}) frLi(ωi)为常数）
L o ( ω o ) = ∫ H 2 f r L i ( ω i ) c o s θ i d ω i = f r L i ∫ H 2 c o s θ i d ω i = π f r L i L_{o}(ω_{o}) = \int_{H^{2}}^{}f_{r}L_{i}(ω_{i})cosθ_{i}dω_{i} = f_{r}L_{i} \int_{H^{2}}^{}cosθ_{i}dω_{i} = \pi f_{r}L_{i} Lo(ωo)=∫H2frLi(ωi)cosθidωi=frLi∫H2cosθidωi=πfrLi
又因为 入射光线 = 出射光线 → \rightarrow → f r = 1 π f_{r} = \frac{1}{\pi} fr=π1
得到 f r = ρ π f_{r} = \frac{ρ}{\pi} fr=πρ （ρ为albedo(color)，范围在0~1），范围在 0 ∼ 1 π 0\sim \frac{1}{\pi} 0∼π1
ω o + ω i = 2 c o s θ n ⃗ = 2 ( ω i ⋅ n ⃗ ) n ⃗ → ω o = − ω i + 2 ( ω i ⋅ n ⃗ ) n ⃗ ω_{o}+ω_{i} = 2cos\theta\vec{n} = 2(ω_{i} \cdot\vec{n})\vec{n} \rightarrow ω_{o} = -ω_{i} + 2(ω_{i} \cdot \vec{n})\vec{n} ωo+ωi=2cosθn=2(ωi⋅n)n→ωo=−ωi+2(ωi⋅n)n （假设 ω o 、 ω i 、 n ⃗ ω_{o}、ω_{i}、\vec{n} ωo、ωi、n是单位向量）
2.镜面折射
镜面折射遵循折射定律，也称为 斯涅尔定律
η i s i n θ i = η t s i n θ t \eta_{i}sin\theta_{i} = \eta_{t}sin\theta_{t} ηisinθi=ηtsinθt （ η \eta η为两边的折射率）
c o s θ t = 1 − s i n 2 θ t = 1 − ( η i η t ) 2 s i n 2 θ i = 1 − ( η i η t ) 2 − ( 1 − c o s 2 θ i ) cos\theta_{t} = \sqrt{1-sin^{2}\theta_{t}} = \sqrt{1-(\frac{\eta_{i}}{\eta_{t}})^{2}sin^{2}\theta_{i}} = \sqrt{1-(\frac{\eta_{i}}{\eta_{t}})^{2} -(1-cos^{2}\theta_{i})} cosθt=1−sin2θt=1−(ηtηi)2sin2θi=1−(ηtηi)2−(1−cos2θi)，当 η i η t > 1 \frac{\eta_{i}}{\eta_{t}}> 1 ηtηi>1时，式子 1 − ( η i η t ) 2 s i n 2 θ i 1-(\frac{\eta_{i}}{\eta_{t}})^{2}sin^{2}\theta_{i} 1−(ηtηi)2sin2θi 就不符合根号内部 > 0，此时没有折射，全反射
3.菲涅尔项 Fresnel
表明反射率和折射率都取决于入射角和光的偏振状态，用于 模拟光线在物体表面的反射行为
反射率取决于入射角
数学表达式
R 是反射率，n1 和 n2 分别是两种介质的折射率
四、Microfacet BRDF 微表面
将物体表面视为由无数微小的、镜面反射 的微表面组成（远处看认为是个平面）
当半程向量 h 与法线方向重合时才能沿出射方向反射（粗糙表面半程向量 h 不会完全等于表面的法线 n）
微表面BRDF公式主要由三个部分 : 菲涅尔项 F ( i , h ) F(i,h) F(i,h)，遮挡-遮蔽项（自遮挡） G ( i , o , h ) G(i,o,h) G(i,o,h)，半程向量（描述微表面法线分布情况） D ( h ) D(h) D(h)
f ( i , o ) = F ( i , h ) G ( i , o , h ) D ( h ) 4 ( n , i ) ( n , o ) f(i,o) = \frac{F(i,h)G(i,o,h)D(h)}{4(n,i)(n,o)} f(i,o)=4(n,i)(n,o)F(i,h)G(i,o,h)D(h)
五、Isotropic / Anisotropic Materials (BRDFs)
区分这两种材质的关键在于 表面法线的方向性
Anisotropic BRDFs
各向异性材质的表面法线分布存在明显的方向性（例如沿着某个方向排列）
BRDF 的值不仅取决于 wi 和 wo 之间的夹角 (i, r)，还取决于 wi 和 wo 的具体方向，例如，沿着某个方向的反射强度会更强
L r ( p , ω r ) = ∫ H 2 f r ( p , ω i → ω r ) L i ( p , ω i ) c o s θ i d ω i L_{r}(p,ω_{r}) = \int_{H^{2}}^{}f_{r}(p,ω_{i} \rightarrow ω_{r})L_{i}(p,ω_{i})cosθ_{i}dω_{i} Lr(p,ωr)=∫H2fr(p,ωi→ωr)Li(p,ωi)cosθidωi
3.可逆性（互易性）
光线在介质中的传播是可逆的
f r ( ω i → ω r ) = f r ( ω r → ω i ) fr(ω_{i} \rightarrow ω_{r}) = fr(ω_{r} \rightarrow ω_{i}) fr(ωi→ωr)=fr(ωr→ωi)
4.能量守恒
对于任何方向 ωr，反射光线的亮度不会超过入射光线的亮度
∀ ω r ∫ H 2 f r ( p , ω i → ω r ) c o s θ i d ω i ≤ 1 {\forall}ω_{r}\int_{H^{2}}^{}f_{r}(p,ω_{i} \rightarrow ω_{r})cosθ_{i}dω_{i} \le 1 ∀ωr∫H2fr(p,ωi→ωr)cosθidωi≤1
5.Isotropic vs. anisotropic
如果是各向同性，那么它 只依赖于两个方向之间的夹角，而不依赖于这两个方向各自的具体方向
f r ( θ i , ϕ i ; θ r , ϕ r ) = f r ( θ i , θ r , ϕ r − ϕ i ) f_{r}(\theta_{i},\phi_{i};\theta_{r},\phi_{r}) = f_{r}(\theta_{i},\theta_{r},\phi_{r}-\phi_{i}) fr(θi,ϕi;θr,ϕr)=fr(θi,θr,ϕr−ϕi)
又因为互易性
f r ( θ i , θ r , ϕ r − ϕ i ) = f r ( θ i , θ r , ϕ i − ϕ r ) = f r ( θ i , θ r , ∣ ϕ r − ϕ i ∣ ) f_{r}(\theta_{i},\theta_{r},\phi_{r}-\phi_{i}) = f_{r}(\theta_{i},\theta_{r},\phi_{i}-\phi_{r}) = f_{r}(\theta_{i},\theta_{r},|\phi_{r}-\phi_{i}|) fr(θi,θr,ϕr−ϕi)=fr(θi,θr,ϕi−ϕr)=fr(θi,θr,∣ϕr−ϕi∣)
互易原理： 互易原理表明，BRDF 满足 f r ( ω r , ω i ) = f r ( ω i , ω r ) f_{r}(ω_{r}, ω_{i}) = f_{r}(ω_{i}, ω_{r}) fr(ωr,ωi)=fr(ωi,ωr)，即入射光方向和出射光方向互换时，BRDF 的值不变，利用这一原理，可以将测量次数减少一半
