基于估计的无约束预测控制

这一节讨论状态不是全部可以测量或有测量噪声的情况下，基于状态估计的无约束预测控制。

一、状态估计

如果状态不是全部可以测量或有测量噪声，则需要估计状态或滤波。设系统的可测量输出变量
$$y_m(k)=C_{m}x(k)$$

考虑下面的估计器形式：
$$\begin{array}{rl}\hat{x}(k+1)& =A\hat{x}(k)+B_{u}u(k)+B_{d}d(k)+L(y_m(k)-C_m\hat{x}(k))\\ {\hat{y}}_c(k)& =C_c\hat{x}(k)\end{array}$$

如果 $(C_m,A)$ 是可观的，则我们可以任意配置 $A-L{C}_m$ 的极点，即可以任意指定估计误差的衰减速度；如果 $C_m,A$ 是可测的，则我们可以设计 $L$ 使得 $A-L{C}_m$ 是渐近稳定的，但不能任意指定估计误差的衰减速度。因此，只要 $(C_m,A)$ 是可测的，我们就可以用任意估计（滤波）方法（如 Kalman 滤波）设计 $L$ 使得 $A-L{C}_m$ 是渐近稳定的。

系统是可观的是指系统的所有模态都可以在输出端观测到的，系统是可测的是指系统所有不稳定的模态可以在输出端观测到的。因此，相比于可观性，系统的可测性假设更弱。

二、预测控制及其闭环解

根据预测控制的基本原理，由估计器得到的当前时刻的状态将作为预测系统未来动态的起点，即状态空间模型的初始状态。因此，基于状态估计的预测控制的开环优化问题为

$$\underset{\Delta U(k)}{\min }J(y_m(k),\Delta U(k),m,p)$$

满足系统动力学（$i=0,1,\cdots ,p$）
$$\begin{array}{rl}\Delta x(k+i+1|k)& =A\Delta x(k+i|k)+B_u\Delta u(k+i)+B_d\Delta d(k+i),\\ \Delta x(k|k)& =\Delta \hat{x}(k),\\ y_c(k+i|k)& =C_c\Delta x(k+i|k)+y_c(k+i-1|k)\end{array}$$

其中
$$J(y_m(k),\Delta U(k),m,p)=\parallel {\Gamma }_y(Y_p(k+1|k)-R(k+1)){\parallel }^2+\parallel {\Gamma }_u\Delta U(k){\parallel }^2$$

推导过程与之前相同，区别只是在于用于估计的状态 $\hat{x}(k)$ 和被控输出 ${\hat{y}}_c(k)$ 代替测量状态 $x(k)$ 和被控输出 $y_c(k)$。最终得到的预测控制率在形式上相同，即
$$\Delta u(k)=K_{\mathrm{mpc}}{E}_p(k+1|k)$$

基于估计的预测控制算法

• (1) 初始化：设定预测时域 $p$ 和控制时域 $m$，初始值 $y_m(-1)=0,u(-1)=0,\hat{x}(-1)=0$；计算 ${\mathcal{S}}_x,\mathcal{I},{\mathcal{S}}_d$ 和 ${\mathcal{S}}_u$，计算 $K_{mpc}$。
• (2) $k\ge 0$ 时刻，得到测量值 $y_m(k)$ 和 $d(k)$。由估计状态 $\hat{x}(k)$ 和 ${\hat{y}}_c(k)$ 计算 $y_c(k)$；计算 $\Delta \hat{x}(k)=\hat{x}(k)-\hat{x}(k-1)$。
• (3) 计算误差 $E_p(k+1|k)$。
• (4) 计算控制量变化量。
• (5) 将 $u(k)=u(k-1)+\Delta u(k)$ 作用于系统。
• (6) 在 $k+1$ 时刻，得到测量值 $y_m(k+1)$ 和 $d(k+1)$，并且令 $k=k+1$，返回第（2）步。