一、整除与同余
1.最大公因子性质：
(a,b)=(-a,b)=(a,-b)=(-a,-b)=(|a|,|b|)
(0,a)=a
2.最大公因子求解（欧几里得算法、辗转相除法）
例：(-3824，1837)
3.最大公因子定理：
设a，b是两个不全为零的整数，则存在两个整数u, v，使得：(a, b)=ua+vb。
例：将a = 888，b = 312的最大公因子表示为(a,b) = ua+vb。
4.最小公倍数性质：
[a，b] = [–a，b] = [a，–b] = [–a，–b] = [|a|，|b|]
，特别地，如果(a, b) = 1, [a, b] = |ab|。
5.算术基本定理：
定理：每个大于1的整数a都可以分解为有限个素数的乘积：a=p1p2…pr。该分解除素数因子的排列外是唯一的。
6.标准因子分解式：
由于p1，p2，…，pr中可能存在重复，所以a的分解式可表示为有限个素数的幂的乘积：
，这称为a的标准因子分解式。
7.Eratosthenes筛法：
设a是任意大于1的整数，则a的除1外最小正因子q是一素数，并且当a是一合数时，
。
例：
求不超过100的全部素数。
同理可以将因子5，7的倍数划去： (3) 划去5的全部倍数： (4) 划去7的全部倍数。
最终经过上述步骤后剩下的数除1外就是不超过100的全部素 数： (25个) 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97
8.快速指数算法
例：求解 2^64 (mod 641)
二、群
★1.群的定义：
设G是一非空集合。如果在G上定义了一个代数运算，称为乘法，记为ab，而且这个运算满足下列条件，那么（G，·）称为一个群：
1) G对于乘法是封闭，即对于G中任意元素a，b，有ab∈G；（封闭性）
2) 对于G中任意元素a，b，c，有(ab)c = a(bc) ；（交换律）
（满足上述两点则为半群）
3) 在G中有一个元素e，对于G中任意元素a，有 ea=a；（左单位元）
4) 对于G中任一元素a都存在G中的一个元素b，使ba=e。（左逆元）
注意：
1) 左单位元也是右单位元，左逆元也是右逆元，所以单位元和逆元不再区分左右。
2) 单位元和逆元是唯一的。
3) 如果一个非空有限集合G中的运算封闭且满足结合律（半群），则它是一个群的充分必要条件是满足消去律（如果ax=ax’，则x=x’；（左消去） 如果ya=y’a，则y=y’。 （右消去））。
2.群的阶
如果一个群G中元素的个数是无限多个，则称G是无限群；如果G中的元素个数是有限多个，则称G是有限群，G中元素的个数称为群的阶，记为|G|。
3.子群
一个群G的一个子集H如果对于G的乘法构成一个群， 则称H为G的子群，记作H≤G。一个群G至少有两个子群：G本身；只包含单位元的子集{e}， 它们称为G的平凡子群，其他子群成为真子群(H<G)。
注意：
1) 子群与群单位元同一。
2) a∈H，a^(-1)是a在G中的逆元，则a^(-1)∈H。
4.子群判定：
一个群G的一个非空子集H构成一个子群的充分必要条件是：对于∀a,b∈H，有：ab^(-1)∈H。
一个群G的一个非空有限子集H构成一个子群的充分必要条件是：对于任意a，b∈H，有ab∈H。
5.同构与同态
1) 映射
单射：∀a, b∈A，如果a≠b，则 f(a)≠f(b)。
满射：∀b∈B，总有a∈A，使f(a)=b。
一一映射：既是满射又是单射的映射。
2) 同态与同构
假设G和G’是两个群，若存在映射f：G→G’ 满足：∀a, b∈G，均有 f(a·b)= f(a)⊙f(b)则称f是G到G’的一个同态映射或简称同态。
如果f是单射，则称f是单同态；
如果f是满射，则称f是满同态；
如果f是一一映射，则称f是同构映射；
如果G=G’，同态f称为自同态，同构映射f称为自同构映射。
3) 反像
设f是G到G’的同态映射。∀a’∈G’，集合 {a|f(a)=a’, a∈G}可能是空集，也可能包含一个以上的元素(f不是单射)。这个集合称为a’的完全反像。（可以类比函数值y所对应的x值，但并不完全一样，因为一个x仅能对应一个y，而此处一个a’可以有多个a对应，如下图）
特别地，单位元的完全反像称为同态映射f的核，记为ker(f)，即ker(f) = {a|a∈G,f(a)=e’}，ker(f)是G的子群，称为f的核子群。
