这是一篇来自JMLR的论文，论文主要关注稀疏主成分分析（Sparse PCA）的问题，提出了一种新颖的几何解法（GeoSPCA）。
该方法相比传统稀疏PCA的解法的优点：1）更容易找到全局最优；2）计算效率更高；3）因为不再需要计算存储整个协方差矩阵，所以对存储资源需求更少；4）GeoSPCA能够一次性构建所有主成分，而不是通过迭代的方式逐步添加，这有助于避免因迭代过程中的数据秩减而导致的信息损失。
这个笔记不会记录原文中过于数学的证明和推理部分，仅整理原理、结论和算法流程等。对数学推理感兴趣的，可自行到以下地址查看原文：
https://www.jmlr.org/papers/volume24/22-0088/22-0088.pdf
1，什么是稀疏PCA
首先给不了解的读者补充一下稀疏PCA概念：
普通PCA得到的主成分有大量非0的原始变量，所以主成分其实是不太清晰的。稀疏PCA通过减少构建主成分的变量数量，可以提高模型的可解释性、预测能力或降低操作成本。相比较而言，稀疏PCA更适用于需要模型解释性的场景。
稀疏PCA 在普通PCA的基础上，引入了一个惩罚函数。这样做的目的是使得大部分系数变为零，从而凸现出主成分的主要部分。
稀疏PCA的实现通常涉及到在标准的PCA优化问题中加入一个正则化项，以促使某些系数变为零。
2，现有稀疏PCA计算方式的缺陷
大多数现有方法通过迭代方式构建主成分（PCs），这些方法通常无法保证整体最优解，且计算成本较高。
3，本文提出的GeoSPCA方法
这种方法通过将问题转化为一个二元线性优化问题（BLO）来近似原始问题，从而绕开了非凸优化的问题。
GeoSPCA算法一次性构建所有主成分，而不是通过迭代的方式。这种方法通过引入一个参数η来近似原始问题，并通过一系列切割平面算法（cut generation algorithm）来逐步改进解。
切割平面算法的核心思想是逐步添加约束条件（即切割平面），以逼近问题的最优解。
3.1 整体流程思路：
初始化：算法开始时，首先解决一个没有额外约束的基本二元线性优化问题（BLO），以获得初始解。
计算当前解的正交投影：对于当前解，计算数据矩阵在由当前解定义的子空间上的正交投影。
检查投影误差：计算当前解的正交投影与原始数据矩阵之间的差异（即误差）。如果这个误差小于预设的阈值η，当前解就是可接受的。
生成切割平面：如果投影误差超过阈值η，算法会生成一个新的线性约束（切割平面），该约束会排除当前解，迫使算法在下一次迭代中寻找更好的解。
迭代过程：将新生成的切割平面添加到优化问题中，并重新解决BLO问题以获得新的解。这个过程会不断重复，直到找到满足误差阈值的解或达到预设的迭代次数。
终止条件：算法在以下情况下终止：1）找到一个满足误差阈值η的解。2）达到预设的最大迭代次数。3）无法进一步改进当前解。
注：其中，线性约束（也称为切割平面或切割约束）是一种限制变量取值范围的表达式，它以线性方程或不等式的形式出现。
3.2 具体落实的算法
在具体落实层面，原文提出了2个算法。
算法1在给定参数η的情况下，找到一组最优支持（Optimal support），这些支持用于构建稀疏主成分。
算法2是从较大的η值开始，逐步细化η的值，以逼近最优的η值，同时也获得稀疏PCA的最优解。
算法1：
算法步骤如下：
初始化：开始时，使用一个二元线性优化（BLO）问题，目标是最大化数据矩阵列的范数加权和，约束条件是支持的大小不超过k。
求解BLO问题：使用BLO求解器找到当前问题的最优解 s∗。
计算正交投影：对找到的解 s∗，计算数据矩阵在由解 s∗ 定义的子空间上的正交投影，并求解PCA以得到对应的主成分。
检查投影误差：计算正交投影与原始数据矩阵之间的Frobenius范数误差 η(s∗)。（注：两个矩阵之间的Frobenius范数一般指的是两个矩阵差的Frobenius范数，也就是同位置元素相减后的平方和的平方根）
生成切割平面：如果误差 η(s∗)超过给定的阈值η，则生成一个新的线性约束（切割平面），将其添加到BLO问题中，以排除当前解。
迭代：重复求解BLO问题，并根据需要生成和添加新的切割平面，直到找到满足误差阈值的解。
返回结果：算法返回找到的支持集，这些支持集定义了稀疏主成分。
算法2：
算法步骤如下：
初始化：设置初始η值 η0和最优解的η值 η∗ 为较大的值。
迭代过程：进行多次迭代，每次迭代使用算法1来求解当前η值下的BLO问题。
更新η值：如果当前解的η值 ηt小于 η∗，并且当前解的函数值 f(ηt) 高于 η∗，则更新 η∗为 ηt，并减小η值以进行下一步迭代。
检查停止条件：如果经过λ次迭代后没有改进，或者达到预设的迭代次数，则停止迭代。
返回结果：算法返回找到的近似最优解的支持集 s∗，以及对应的η值 η∗和函数值 f(η*)。
