线代知识点总结

初等变换的规则：

1."倍乘"：一个非零常数乘矩阵矩阵的某一行(列)。

2."互换"：互换矩阵中某两行(列)的位置。

3."倍加"：将矩阵的某一行(列)的k倍加到令一行(列)。

注意：

某矩阵乘元素k，是矩阵中的每个元素都成k，要与行列式区分。

也就是 $|kA|=k^n|A|$ 。

3.解线性方程组时，仅能使用初等行变换

因为矩阵的每一种初等行变换都对应着线性方程组的同解变换，而作列变换会改变原来的方程。

4.判定解的情况，单纯求r(A),r(A,b)的过程行列变换都可

注：将r(A,b)化行阶梯求秩时，往往我们需要同时得到r(A)，如果想用列变换的话，只能对A单独列变换，千万不要将b列和A的列混合运算，这样r(A)就不准了。(但r(A,b)是准的)。

但是，如果涉及到求通解或唯一解，那么就只能做行变换化行阶梯了，所以建议一开始就只做行变换。

总结：求解的过程，就只进行初等行变换化行阶梯求秩，并且顺势化为行最简型求解。

5.求向量组极大无关组、线性表出关系，则仅行变换

因为初等行变换不改变列向量组的线性表出关系。例如下图， $\beta$ 矩阵中， $\beta_{3}=\beta_{2} +\beta_{1}$ ， $\alpha$ 矩阵同样有这样的关系。

6.求向量组的秩时，行列变换都可

求向量组的秩，其实最后会转化为求矩阵的秩，原理就是"矩阵的秩=行向量组的秩=列向量组的秩"，所以求向量组的秩也是行列变换都可。

但是一般求向量组的秩后面会继续求解极大无关组/线性表出关系，这时只能做行变换，所以还是建议从开头就只使用行变换。

7.求特征值时，行列变换都可

因为特征多项式本质上是行列式，求行列式时，行列都可以换。

8.求特征向量时，仅做行变换

因为求特征向量时，本质是在解线性方程组，只能进行初等行变换。

9.求逆矩阵时，对(A,E)仅做初等行变换

因为以 $A^{-1}$ 左乘A得到E，以 $A^{-1}$ 左乘E得到 $A^{-1}$ ，以 $A^{-1}$ 左乘的过程就是做初等行变换的过程。

所以怎么体现A和E做了完全一样的 $A^{-1}$ 所带来的初等行变换，就是将A，E横着拼在一起，此时做的初等行变换就是同步的了。

总结：

除了① 求行列式的值（求特征值本质上就是求行列式的值）和 ② 单纯求秩，行列变换都可，其余情况通通只做行变换。

二.要牢记

先写那么多，后面有再补充：

一些推导：

对于AB ≠ BA的补充：

三.某某子式

1.余子式

在n阶行列式中，去掉元素a所在的第i行、第j列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的n-1阶行列式称为元素a的余子式，记作 $M_{ij}$ 。

2.代数余子式

余子式 $M_{ij}$ 乘 $(-1)^{i+j}$ 后称为a的代数余子式，记作A $A_{ij}$

3.k阶子式

给定一个矩阵，任取k行，任取k 列，共 $k^{2}$ 个数构成的行列式，出现在矩阵的秩中，定义如下：

设A是mxn矩阵，则若存在k阶子式不为零，而任意k+1阶子式(如果有的话)全为零，则r(A)=k，且若A为nxn矩阵，则：

4.k阶主子式

指在行列式中选k行k列，但要求行和列的下标相同。如：行为r1、r2、r3，列必须为c1、c2、c3；行为r2、r3、r5，列必须为c2、c3、c5。因此，k阶主子式不唯一。

这在矩阵相似会用到，下面会讲。

5.顺序主子式

顺序主子式是在主子式上再加限定，顺序主子式是由 1~k 行和 1~k 列所确定的子式。

例如：

1阶时：取第1行，第1列

2阶时：取第1、2行，第1、2列

3阶时：取第1、2、3行，第1、2、3列

4阶时：取第1、2、3、4行，第1、2、3、4列

实际上，主子式的主对角线元素是原 n 阶行列式的主对角线元素的一部分，且顺序相同。

所以k 阶主子式是不唯一的，而 k 阶顺序主子式是唯一的。

用在判断二次型正定上，下面会讲。

四.矩阵的秩

① 0 <= r(A) <= min{m,n}

② r(kA)=r(A)(k ≠ 0)

③ r(AB) <= min{r(A),r(B)}

④ r(A+B) <=r(A)+r(B)

⑤

r(A)=n-1,r(A*)=1的证明：

进而可得出一个重要结论：

$A_{m*n}B_{n*s}=0$ ，则r(A)+r(B)<=n

⑥ 设A是m*n矩阵，P,Q分别是m阶，n阶可逆矩阵，则

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

⑦ r(A)= $r(A^{T})$ =r( $AA^{T}$ )=r( $A^{T}A$ )

五.常用特征值与特征向量

六

1.矩阵的逆

除了一般公式，矩阵的逆和伴随：

推导如下：

2.矩阵的伴随

六.矩阵，向量组，方程组

矩阵，向量组

① 向量组是由有限个相同维数的行向量或者列向量组成，其中向量是由n个实数组成的有序数组,是一个n*1的矩阵(n维列向量)或是一个1*n的矩阵(n维行向量)。

 ② 矩阵是由m*n个数排列成m行n列的数表。

一个向量组可以看作是一个矩阵的列（或行）向量集合。如果一个矩阵有n列，那么这n列就可以看作是一个由n个向量组成的向量组。反过来，一个矩阵也可以看作是由其列（或行）向量组成的向量组。

1.怎么判断两个矩阵等价

矩阵等价的前提：A与B是同型矩阵，即A,B行数，列数相同

矩阵等价的充要条件：

① r(A)=r(B)

② PAQ=B，P,Q可逆

2.怎么判断两个向量组是等价向量组

向量组等价的前提：A，B矩阵同维

若r( Ⅰ )=r( $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ....) r(Ⅱ)=r( $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ ....)

向量组等价的充要条件：
① r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出（单向表出即可）

② r(Ⅱ)=r(Ⅰ)，且(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出（单向表出即可）

③ r( $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ....) =r( $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ ....) =r( $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ ..., $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ ...)，即

r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)

④ Ⅰ和Ⅱ能够相互线性表示。

总结：
① 两个矩阵A与B等价指的是A可以通过有限次初等变换变成B。两个不同型矩阵是不可能等价
乡
② 两个向量组等价只指的是它们能够互相线性表示，它们各自所含向量的个数可能是不一样的。

例题：

D.即使Ⅰ 和 Ⅱ 同为n维向量组，但是s与t的关系未知，也就是行数相等，列数未知，所以A，B两个矩阵可能不同型，不能等价。

B.(Ⅰ)可由（Ⅱ）表示，缺少其他条件，如果① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出或者② r(Ⅰ)=r(Ⅱ)就对了

C正确

D r(A)=r(B)，只能推出两个向量组秩相同，缺少其他条件，如果加上① 加上(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表出或者②加上(Ⅰ )可由(Ⅱ)线性表出或者③ r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ，Ⅱ)，就对了。

3.同解方程组

若两个方程组 $A_{m*n}x=0$ 与 $B_{s*n}x=0$ 有完全相同的解，则称它们为同解方程组

充要条件：

① Ax=0的解满足Bx=0，且Bx=0的解满足Ax=0(互相把解代入求出结果即可)

② r(A)=r(B)，且Ax=0的解满足Bx=0(或Bx=0的解满足Ax=0)

③ r(A)=r(B)=r( $\begin{bmatrix} A\\ B \end{bmatrix}$ )(三秩相同)

例1：

例2：

七.齐次线性方程组和非齐次线性方程组

齐次线性方程组有解的条件：

① r(A)=n时，方程组有唯一零解。

② r(A)=r<n时，方程组有非零解（无穷多解），且有n-r个线性无关解

齐次方程组其实就是解和系数的正交，例如，给你一个条件：

$\alpha_{1}=2\alpha_{2} +\alpha_{3}$ ----> $\alpha_{1}-2\alpha_{2} -\alpha_{3}+0 \alpha_{4} =0$

则(1 -2 -1 0)就是齐次方程组的基础解系

非齐次线性无关组有解的条件：

① 若r(4)≠r([A,b])，则方程组无解；
② 若r(A)=r([A,b])=n，则方程组有唯一解；
③ r(A)=r([A,b])=r<n，则方程组有无穷多解。

非齐次方程组的通解的求法：

①求Ax=0的解

② 求Ax=b的一个特解

③ 非齐次方程组的通解=齐次方程组的解+一个非齐次的特解

如果A行满秩，则r(A)=r(A|b)，那么方程组一定有解。

如果A列满秩，则r(A)与r(A|b)的关系不确定：

① r(A)<r(A|b)，则无解

② r(A)=r(A|b)<n，有无穷多解

③ r(A)=r(A|b)=n，有唯一解

八.对比记忆

矩阵A的tr(A)：tra(A)=矩阵A的迹=对角线元素之和

2.对于秩为1的n阶矩阵A或A= $\alpha \beta ^{T}$ (或 $\beta ^{T}\alpha$ )（a,β都是n维非零列向量），其特征值为 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} ....\lambda_{n-1}$ =0， $\lambda _{n}=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}=\beta^{T} \alpha$ （或 $\alpha^{T} \beta$ ）

例题1：

例题2：

九.相似与正交

存在n阶可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$ ,则称A相似于B，记为A~B

若A~B

① |A|=|B|

② r(A)=r(B)

③ tr(A)=tr(B)

④ $\lambda _{A}=\lambda _{B}$ （ $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ ）

⑤ $r(\lambda E-A)=r(\lambda E-B)$

⑥ A，B各阶主子式之和分别相同

那么怎么判定矩阵相似呢？

① 定义法

存在n阶可逆矩阵P，使得 $P^{-1}AP=B$

② 传递法

A~ $\Lambda$ ， $\Lambda$ ~B，则A~B，其中 $\Lambda$ 为对角阵

这就要说到矩阵的相似对角化

矩阵可相似对角化的条件：

充要条件：

① n阶矩阵A可相似对角化↔有n个线性无关的特征向量。

② n阶矩阵A可相似对角化↔A对应于每个k重特征值都有k个线性无关的特征向量

必要条件：

③ n阶矩阵A有n个不同特征值→A可相似对角化

④ n阶矩阵为实对称矩阵→A可相似对角化

对于矩阵相似对角化的步骤：

① 求特征值

② 求特征向量

③ 正交化（如果需要的话），单位化 $\eta_{1} \eta_{2} \eta_{3}.... \eta_{n}$

④ 令Q=[ $\eta_{1} \eta_{2} \eta_{3}.... \eta_{n}$ ],则Q为正交矩阵，且 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

上面提到了实对称矩阵，实对称矩阵就是组成A的元素都是实数。对于实对称矩阵（ $A^T=A$ ）要记住：

对于正交，你需要记住：
① $\alpha ^{T} \beta =0$ ，则 $\alpha$ ， $\beta$ 是正交向量

② 若满足 $A^{T}A=E$ ，则A是正交矩阵

$A^{T}A=E$ ↔ $A^{-1}=A^{T}$

例题：

矩阵相似还可得出：

① A~B， $A^{k}=B^{k}$ ，f(A)=f(B)

② 若A~B，且A可逆，则 $A^{-1}$ ~ $B^{-1}$ ，f( $A^{-1}$ )=f( $B^{-1}$ )

③ 若A~B， $A^*$ ~ $B^*$

④ 若A~B， $A^T$ ~ $B^T$

注：

十.合同

设A，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使得 $C^TAC=B$ ，则称A与B合同，即 $A\cong B$ 。A与B合同，就是指同一个二次型在可逆线性变换下的两个不同状态的联系。

A与B合同的充要条件：正惯性性指数(p)等于负惯性指数(q)

① pA=PB，且qA=qB

② pA=PB，且r(A)=r(B)

③ qA=qB，且r(A)=r(B)

注：由于我们已经规定，对称矩阵才是二次型矩阵，所以二次型矩阵都是对称矩阵，相应的和对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵。

十一.二次型

关于二次型化标准型或规范型的方法：配方法，正交变化有总结如下：

这里记录一个例题：

十二.二次型正定

二次型正定的充要条件：
n元二次型 $f=x^{T}Ax$ 正定↔对任意x≠0，有 $x^{T}Ax$ >0（定义）

① ↔f的正惯性指数p=n

② ↔存在可逆矩阵D，使得 $A=D^{T}D$

③ ↔ $A\cong E$ ，A与E合同

② ③推导：

④↔A的特征值 $\lambda$ >0

⑤↔A的全部顺序主子式>0

二次型正定的必要条件：

① $a_{ii}$ >0，对角线元素全部大于0

② |A|>0