格拉姆-施密特正交化和改进的格拉姆-施密特正交化
格拉姆-施密特正交化CGS
数学公式
代码实现：
过程版
矩阵运算实现的难点在于每次运算都是一个向量，需要for循环进行，会带来运算时在代码中的复杂，进而难以理解代码的过程
Q矩阵是{e...} R矩阵是上三角矩阵
Q[0] = A[0]; // -> b1 = a1
R[0][0] = norm(Q[0], m); //-> ||b1||
Q[0] =A[0] / R[0][0]; //-> b1/||b1||
先求
R[1][2] = dotProduct(A[i], Q[j], m);
再用 Q[2] = A[2]; //这样可以使用迭代去求b2
R[j][i] = dotProduct(A[i], Q[j], m); // -> a2Te1
Q[i][k] = A[i][k]; //方便下一般实现循环递归减
Q[i][k] -= R[j][i]*Q[j][k]; //用于递归实现 bn = an - anTen-1en-1-...
R[i][i] = norm(Q[i], m);// -> ||b1||
Q[i][k] /= R[i][i]; //-> b1/||b1||纯净版
void cgs(double** A, int m, int n, double** Q, double** R) {
if (n>=1)
{
R[0][0] = norm(A[0], m);
for (int k = 0; k < m; k++) {
Q[0][k] =A[0][k]/ R[0][0];
}
}
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
R[j][i] = dotProduct(A[i], Q[j], m);
}
for (int k = 0; k < m; k++)
{
Q[i][k] = A[i][k];
}
for (int j = 0; j < i; j++) {
for (int k = 0; k < m; k++) {
Q[i][k] -= R[j][i]*Q[j][k];
}
}
R[i][i] = norm(Q[i], m);
for (int k = 0; k < m; k++) {
Q[i][k] /= R[i][i];
}
}
}改进的格拉姆-施密特正交化MGS
数学公式
在于先求e 每次都对全部b进行运算
代码实现
过程版
for (int i = 0; i < m; i++)
{
Q[i]= A[i];
}
for (int i = 0; i < m; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
Q[i][j] = A[i][j];
}
}
R[i][i] = norm(Q[i], m);
for (int k = 0; k < m; k++) {
Q[i][k] /= R[i][i];
}先求
R[i][j] = dotProduct(Q[i], Q[j], m);对每一个b仅需运算 每一个循环都会少计算b1，b2,b3..bn所以j = i+1
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
for (int k = 0; k < m; k++) {
Q[j][k] -= Q[i][k] * R[i][j];
}
}纯净版
void mgs(double** A, int m, int n, double** Q, double** R) {
for (int i = 0; i < m; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
Q[i][j] = A[i][j];
}
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
R[i][i] = norm(Q[i], m);
for (int k = 0; k < m; k++) {
Q[i][k] /= R[i][i];
}
// 计算 R元素 b2Tei b3Tei... Q[i]=e[i]
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
R[i][j] = dotProduct(Q[i], Q[j], m);
}
// 更新 Q
for (int j = i + 1; j < n; j++) {
for (int k = 0; k < m; k++) {
Q[j][k] -= Q[i][k] * R[i][j];
}
}
}
}参考博客：
下文有博主有python实现
