03-3.5.1~4 特殊矩阵的压缩存储

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数组的存储结构

一维数组

ElemType a[10]; // ElemType型一维数组
起始地址：LOC
各数组元素大小相同且物理上连续存放
数组元素a[i]的存放地址 = $LOC+i\ast sizeof(ElemType)$ $(0<=i<10)$
注：除非题目特别说明，否则数组下标默认从0开始

二维数组

ElemType b[2][4]; // 2行4列的二维数组
起始地址：LOC
M行N列的二维数组b[M][N]中

• 若按行优先存储，则b[i][j]的存储地址 = $LOC+(i\ast N+j)\ast sizeof(ElemType)$
• 若按列优先存储，则b[i][j]的存储地址 = $LOC+(i+j\ast M)\ast sizeof(ElemType)$

特殊矩阵

普通矩阵

$$\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& ......& a_{1,n-1}& a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& ......& a_{2,n-1}& a_{2,n}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& ......& a_{3,n-1}& a_{3,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& a_{n,2}& a_{n,3}& ......& a_{n,n-1}& a_{n,n}\end{array}\right|$$
可用二位数组存储
注意：描述矩阵元素时，行、列号通常从 1 开始；而描述数组时通常下标从 0 开始（具体看题目给的条件，注意审题）

对称矩阵的压缩存储

若 n 阶方阵中任意一个元素 $a_{i,j}$ 都有 $a_{i,j}=a_{j,i}$ ，则称该矩阵为对称矩阵
$$\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}& ......& a_{1,n-1}& a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}& ......& a_{2,n-1}& a_{2,n}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}& ......& a_{3,n-1}& a_{3,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{n-1,1}& a_{n-1,2}& a_{n-1,3}& ......& a_{n-1,n-1}& a_{n-1,n}\\ a_{n,1}& a_{n,2}& a_{n,3}& ......& a_{n,n-1}& a_{n,n}\end{array}\right|$$
普通存储：$n\ast n$ 二维数组
压缩存储：只存储主对角线+下三角区

• 策略：只存储主对角线+下三角区
  按行优先原则将各元素存入一维数组中

思考：

1. 数组大小应该为多少？
   • $\frac{n(n+1)}{2}$
2. 站在程序员的角度，对称矩阵压缩存储后怎样才能方便使用？
   • 可以实现一个“映射”函数，矩阵下标->一维数组下标

那么如何才能把矩阵的下标映射为一维数组的下标呢？

• 关键：按照行优先的原则且 $(i\ge j)$ ，$a_{i,j}$ 是数组 $B[k]$ 中的第几个元素？
  • 根据下标 i ，前面有 $\frac{i(i-1)}{2}+j$ 个元素
  • 所以 $k=\frac{i(i-1)}{2}+j-1$ （如果有些数组下标从 1 开始，那么就不需要 -1 了
• 那么如果是 $i<j$ 呢？
  • 根据对称矩阵的性质，我们可以转变为访问 $a_{j,i}$
  • 那么 $k=\frac{j(j-1)}{2}+i-1$

三角矩阵

下三角矩阵：除了主对角线和下三角区，其余的元素都相同
上三角矩阵：除了主对角线和上三角区，其余的元素都相同
压缩存储策略：按行优先原则将橙色区元素存入一维数组中。并在最后一个位置存储常量 c

• 如果是下三角矩阵：
  • 三角矩阵的下标映射为一维数组的下标和对称矩阵的一样：
    $$k=\{\begin{array}{l}\frac{i(i-1)}{2}+j-1,i\ge j（下三角区和主对角线元素）\\ \frac{j(j-1)}{2}+i-1,i<j（上三角区元素）\end{array}$$
• 如果是上三角矩阵：
  $$k=\{\begin{array}{l}\frac{(i-1)(2n-i+2)}{2}+(j-i),i\le j（上三角区和主对角线元素）\\ \frac{n(n+1)}{2},i>j（下三角区元素）\end{array}$$

三对角矩阵

三对角矩阵，又称带状矩阵：
当 $|i-j|>1$ 时，有 $a_{i,j}=0(1\le i,j\le n)$
也就是说，主对角线上的元素都是非零元素，并且任意一个主对角线上的元素四周的元素都是非零元素，再往外的元素都是零元素

按照行优先（或列优先）原则，只存储带状部分
不难发现，前 $i-1$ 行共有 $3(i-1)-1$ 个元素，$a_{i,j}$ 应该是第 i 行的第 $j-i+2$ 个元素，所以 $a_{i,j}$ 是第 $2i+j-2$ 个元素 --> $k=2i+j-3$

反之，如果已经知道数组下标 k ，如何得到 i，j？
前 $i-1$ 共 $3(i-1)-1$ 个元素
前 $i$ 行共 $3i-1$ 个元素
显然，$3(i-1)-1<k+1\le 3i-1$
当 $i=\frac{(k+2)}{3}$ ，向上取整，刚好可以满足上面那个表达式

稀疏矩阵

稀疏矩阵：非零元素远远少于矩阵元素的个数
压缩存储策略：

• 顺序存储——三元组（行，列，值）
• 链式存储——十字链表法