[导读]：超平老师的Scratch蓝桥杯真题解读系列在推出之后，受到了广大老师和家长的好评，非常感谢各位的认可和厚爱。作为回馈，超平老师计划推出《Python蓝桥杯真题解析100讲》，这是解读系列的第77讲。
商品最大价值，本题是2022年1月22日举办的第13届蓝桥杯青少组Python编程选拔赛真题编程部分第5题。小蓝桌子上摆放着一个容积为 m 的书包及n件不同的商品，且每件商品上都标有商品的体积和商品的价值，请编程计算出能装入书包的商品的最大价值。
先来看看题目的要求吧。
一.题目说明
编程实现：
小蓝桌子上摆放着一个容积为m的书包及n件不同的商品，且每件商品上都标有商品的体积和商品的价值。
小蓝要满足以下要求挑选商品装入书包中
要求 1：挑选的商品总体积不超过书包的容积；
要求 2：挑选的商品商品总价值最大。
请你帮助小蓝计算出能装入书包的商品的最大价值。
输入描述：
第一行输入两个正整数m和n，m表示书包的容积，n表示商品的数量。两个正整数之间一个英文逗号隔开
第二行输入n个正整数表示商品的体积，正整数之间一个英文逗号隔开
第三行输入n个正整数表示商品的价值，正整数之间一个英文逗号隔开（商品价值的输入顺序对应商品体积输入顺序）
输出描述：
输出装入书包的商品的最大价值
样例输入：
11,3
2,6,4
1,5,2
样例输出：
7
二.思路分析
这是一道算法题，涉及的知识点包括循环、列表、枚举算法和动态规划等。
很显然，这是一个典型的01背包问题，它是计算机科学和操作研究中经典的优化问题之一。
它的名称来源于这样一个情景：你有一个背包和一组物品，每个物品有一定的重量和价值；你需要在不超过背包最大负载的情况下，挑选出某些物品装进背包以使这些物品的总价值最大化。
针对本问题，我们有如下两种解决方案：
枚举算法
动态规划
我们分别来讨论。
1. 枚举算法
先来说说枚举算法，它是最简单的解决方案，我们可以使用combinations()函数将所有的组合列举出来，并找出总体积小于n的组合，计算出它们的总价值，然后就可以找出最大价值了。
以题目中给出的数据为例，3件商品，一共有7种不同的组合，我们可以使用表格列出所有的组合情况。
只挑选一件商品的组合情况如图所示：
只挑选两件商品的组合情况如图所示：
挑选三件商品的组合情况如图所示：
通过上面的3个表格，可以发现，有6种组合满足条件，其中挑选商品2+商品3组合的总价值7是最高的。
2. 动态规划
使用动态规划算法的要点有如下4个：
定义DP数组
初始化DP数组
状态转移方程
遍历顺序
1). 定义DP数组
01背包是一个线性动态规划问题，我们可以定义一个二维列表dp[i][j]，表示将前i个物品装入容积为j的书包中，所能得到的最大价值。
以题目中的数据为例，一共有3件商品，总体积为11，对应的二维表格如图所示：
这里的行i表示要挑选的商品，列j表示书包的体积，而处在最右下角落的单元格dp[3][11]，就是最终的答案。
需要注意的是，列的最大值是由书包容积m来决定的，并且是以最小整数单位1来递增的。
2). 初始化DP数组
为了方便计算，在上面的二维表格中，专门增加了i = 0的行、j = 0的列，前者表示没有挑选任何商品，后者表示容积为0。
因此，i = 0的行和j = 0的列，其最大价值均为0，如图：
3). 状态转移方程
接下来，就是逐渐填表的过程，填写过程中，始终要牢记dp[i][j]的含义。
先从第一件商品开始，商品1的体积为2，价值为1。
单元格dp[1][1]表示将商品1装入体积为1的书包中的最大价值，很显然，由于1 < 2，说明无法装入，因此dp[1][1] = dp[0][1] = 0。
也就是说，如果无法装入商品1，那么它的值就和正上方的格子相同，如图所示：
再来看dp[1][2]，它表示将商品1装入体积为2的书包中的最大价值，此时2 = 2，可以装入，因此dp[1][2] = 1。
以此类推，可以发现，对于商品1，只要书包体积 >= 2，都可以装入，其最大价值都是1，对应的dp表格如图所示：
接下来，我们考虑第二件商品，商品2的体积为6，价值为5。
很显然，当书包体积小于6时，肯定是无法装入商品2，所以选择不装入，其值等于正上方的单元格，如图：
dp[2][6]会出现什么情况呢？
由于商品2的体积6刚好等于书包的容积，说明可以装入，此时就面临两种选择：
不装入
装入
如果不装入，就相当于在书包体积为6的书包中只装入前1个商品，因此dp[2][6] = dp[1][6] = 1。
如果装入，那么先考虑装入商品2的价值5，同时还要考虑装入商品2后，书包的剩余体积在装入前1个商品的最大价值。
换言之，装入商品2，还要考虑是否会把之前装入的商品挤出来，因为容积有限嘛。在这种情况下，dp[2][6] = 5 + dp[1][6-6] = 5 + dp[1][0] = 5。
然后，在上述两种情况下，选择最大值，很显然，5是最大价值，即装入商品2，此时商品1被挤出来了。
这个计算过程，如图所示：
也就是说，我们需要在不装入和装入中选择价值最大的情况。到这里基本上就可以找到规律了，如下：
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i - 1][j - v[i]] + p[i])其中：v[i]表示当前商品的体积p[i]表示当前商品的价值
根据这个状态转移方程，我们可以填充好整个表格，如图所示：
最右下角的dp[3][11] = 7，就是最大价值了。
4). 遍历顺序
通过上面的分析，可以发现，在计算dp[i][j]时，需要考虑正上方和左上方的单元格，所以我们按照从上到下，从左到右的顺序，如图：
如此一来，咱们的4个核心要素都一一解决了。
思路有了，接下来，我们就进入具体的编程实现环节。
三.编程实现
根据上面的思路分析，我们使用两种方法来编写程序：
枚举算法
动态规划
1. 递归算法
根据前面的思路分析，我们编写代码如下：
代码不多，说明两点：
1). 在获取m和n的时候，先使用了列表推导式，得到列表，然后使用解包赋值运算对m和n赋值；
2). 在计算体积和和商品和时，使用了列表推导式，得到一个列表，然后直接使用sum()函数求和，代码非常简洁；
2. 动态规划
根据前面的思路分析，编写代码如下：
代码其实不多，说明三点：
1). 在定义dp二维数组的时候，结合了快速创建列表和列表推导式的编程技巧，此处的下划线_是一个变量名；
2). dp二维数组增加了i = 0的行和j = 0的列，实际计算是从dp[1][1]开始的；
3). 在获取商品i的体积和价值时，需要将i减去1，因为v和p两个列表的下标都是从0开始的。
至此，整个程序就全部完成了，你可以输入不同的数据来测试效果啦。
四.总结与思考
本题代码在12行左右，涉及到的知识点包括：
循环语句；
列表操作；
枚举算法；
动态规划算法；
01背包问题；
作为本次测评的最后一题，虽然代码不多，但是难度较大。关键点是熟练掌握动态规划算法的思想和分析方法。
01背包是经典的动态规划问题，具体来说，它属于线性DP，其特点是每个状态通常只与前一个或几个状态相关，因此可以使用一维或二维数组来存储和计算状态。
解决线性DP问题的一般步骤包括定义状态、确定状态转移方程、设定初始条件和确定遍历顺序，然后通过循环计算最优解，从而求解问题。
理解动态规划算法最好的方法就是画出表格，一步一步分析，千万不要纠结于代码本身，一般来说，动态规划的代码都比较简短，写起来也很快。
超平老师给你留一道思考题，本题可以使用递归方法来实现吗，代码如何编写呢？
你还有什么好的想法和创意吗，也非常欢迎和超平老师分享探讨。
如果你觉得文章对你有帮助，别忘了点赞和转发，予人玫瑰，手有余香😄
需要源码的，可以移步至“超平的编程课”gzh。
