揭秘《庆余年算法番外篇》续集：范闲通过最大似然法推理找到火烧史家镇的凶手

揭秘《庆余年算法番外篇》：范闲通过贝叶斯推理找到太子火烧使家镇的证据
上次写了这篇文章之后，很多留言说开了上帝视角，先假设了二皇子和太子有罪，这次通过最大似然法进行推导。

方法介绍：

最大似然法是一种在概率统计中广泛使用的参数估计方法。该方法基于一组已知的样本数据，旨在寻找能够以最高概率生成这些数据的模型参数。通过最大化似然函数，即可确定最合适的参数值，从而使得模型最好地拟合观察数据。以下是具体分析：

方法介绍：

最大似然法的核心在于构建似然函数，该函数反映了在不同参数下，观察到的样本数据出现的概率。通过寻找使似然函数达到最大值的参数，可以获得参数的最大似然估计。

• 定义与原理：
  最大似然法的核心在于构建似然函数，该函数反映了在不同参数下，观察到的样本数据出现的概率。
  通过寻找使似然函数达到最大值的参数，可以获得参数的最大似然估计。
• 前提条件：
  需要有一个未知参数的概率分布模型，以及由该模型生成的一定数量的样本点。
  采样需满足独立同分布的假设条件。
• 数学表达：
  对于离散型总体，似然函数表现为概率质量函数的连乘形式；而对于连续型总体，则涉及到概率密度函数的类似处理。
  为便于计算，通常对似然函数取对数，转换为对数似然函数，然后通过求导和置零来求解未知参数。
• 性质：
  最大似然估计具有泛函不变性，即如果某个函数的MLE已知，则其单调函数的MLE也可直接求解。
  在样本量足够大的情况下，最大似然估计接近最小方差，并且趋于正态分布。
• 应用范围：
  最大似然法广泛应用于统计学、机器学习等领域，特别是在建立系统发生树等生物学研究中非常关键。
  在实际应用中，最大似然法常用于估计如高斯分布等各类概率分布模型的参数。
• 优缺点：
  优点是理论基础坚实，适用范围广，当样本量足够大时，估计结果准确且具有良好的统计性质。
  缺点是在样本量不足或数据有偏时可能导致估计偏差，且计算复杂度较高，特别是在面对大量参数和复杂模型时。
• 注意事项和考虑因素：
• 确保样本质量：高质量的样本数据是进行准确估计的前提。
• 注意模型选择：不同的模型适用于不同类型的数据分布，选择错误的模型可能导致估计结果不准确。
• 计算资源：最大似然估计在处理复杂模型时可能需要较大的计算力，尤其是在优化似然函数时可能需要高性能计算支持。

剧情背景

在《庆余年》中，史家镇突发火灾，造成了严重的损失。范闲受命调查此事，发现背后可能涉及到太子、鉴查院、皇帝和长公主等多方势力。为了找出真凶，范闲决定使用最大似然估计法，通过现有的证据逐步推断出最有可能的嫌疑人。

定义条件概率

我们定义每个证据在不同嫌疑人为真凶的情况下的条件概率（增加一些推导），鉴查院跟范闲是一伙的可以排除，庆帝也排除，他如果不想让范闲查当时就没必要派他去北齐，还剩下二皇子、大皇子、长公主。

1. 史家镇信息：史家镇除了二皇子和长公主，范闲还跟太子说过，二皇子和长公主作为关联方各自的概率为40%，太子20%。
2. 人证史阐立：作为史家镇唯一幸存者，太子处处针对史阐立，并且史阐立还见过太子的人在案发地点周围，所以太子的概率为90%，长公主和二皇子各为5%。
3. 作案条件：二皇子和太子各40%，长公主不在京都，作案能力较弱，概率为20%。
4. 作案手法：二皇子以往都是派剑客行刺，从不放火，太子身边没剑客，长公主不确定，所以二皇子20%，太子和长公主各40%。

代码实现：

# 定义证据的条件概率
evidence = {
    '证据1': {'太子': 0.2, '二皇子': 0.4, '长公主': 0.4},
    '证据2': {'太子': 0.9, '二皇子': 0.05, '长公主': 0.05},
    '证据3': {'太子': 0.4, '二皇子': 0.4, '长公主': 0.2},
    '证据4': {'太子': 0.4, '二皇子': 0.2, '长公主': 0.4}
}

# 定义嫌疑人列表
suspects = ['太子', '二皇子', '长公主']

# 计算每个嫌疑人的联合概率
def calculate_joint_probability(suspect, evidence):
    joint_prob = 1
    for ev in evidence:
        joint_prob *= evidence[ev][suspect]
    return joint_prob

# 计算所有嫌疑人的联合概率
joint_probabilities = {}
for suspect in suspects:
    joint_probabilities[suspect] = calculate_joint_probability(suspect, evidence)

# 找出联合概率最大的嫌疑人
most_likely_suspect = max(joint_probabilities, key=joint_probabilities.get)
print(f'最有可能的真凶是: {most_likely_suspect}')

# 打印所有嫌疑人的联合概率
for suspect, prob in joint_probabilities.items():
    print(f'{suspect} 的联合概率: {prob}')

结果与分析：