题目描述
https://leetcode.cn/problems/coin-change/description/?envType=study-plan-v2&envId=top-interview-150
给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。
计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1
示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1
示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0
提示：
1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104
解题思路
这种找路径，找方法的题一般可以使用回溯法来解决，回溯法也可以说是树形图法，解题的时候使用类似于树状图的结构，使用 自顶而下 的方法。
而在回溯法中，如果含有很多的重复的计算的时候，就可以使用记忆化的搜索，将可能出现的重复计算大状态使用一个数组来保存其值，在进行重复的计算的时候，就可以直接的调用数组中的值，较少了不必要的递归。
使用了记忆化搜索后，一般还可以进行优化，在记忆化搜索的基础上，变成 自底而上 的动态规划。
递归
使用递归就是关键是知道递归函数是用来干什么的，但这里使用递归会超时，因为有太多的重复计算。
class Solution {
int res = Integer.MAX_VALUE;
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
if(coins.length == 0){
return -1;
}
findWay(coins,amount,0);
// 如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。
if(res == Integer.MAX_VALUE){
return -1;
}
return res;
}
public void findWay(int[] coins,int amount,int count){
if(amount < 0){
return;
}
if(amount == 0){
res = Math.min(res,count);
}
for(int i = 0;i < coins.length;i++){
findWay(coins,amount-coins[i],count+1);
}
}
}
记忆化搜索
记忆化搜索其实就是在递归的时候，把每个状态保存起来，这样我们递归过程中使用到的重复的结果的时候，不需要在去重新计算，直接从数组中取值，就可以加快速度了。
从图中可以看出，里面有很多的重复节点，我们使用memo[]来保存节点，memo[n]表示钱币n可以被换取的最少的硬币数，不能换取的话赋值-1。
findway函数的目的是为了找到amount数量的零钱可以兑换的最少硬币数量，返回其值int。
在进行递归的时候，mome[n]被复制了，就不用在继续递归了，可以直接的调用。
class Solution {
int[] memo;
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
if(coins.length == 0){
return -1;
}
memo = new int[amount];
return findWay(coins, amount);
}
// memo[n] 表示钱币n可以被换取的最少的硬币数，不能换取就为-1
// findWay函数的目的是为了找到 amount数量的零钱可以兑换的最少硬币数量，返回其值int
public int findWay(int[] coins, int amount){
if(amount < 0){
return -1;
}
if(amount == 0){
return 0;
}
// 记忆化的处理，memo[n]用赋予了值，就不用继续下面的循环
// 直接的返回memo[n] 的最优值
if(memo[amount - 1] != 0){
return memo[amount - 1];
}
int min = Integer.MAX_VALUE;
for(int i=0; i < coins.length; i++){
int res = findWay(coins, amount - coins[i]);
if(res >= 0 && res < min){
min = res + 1;// 加1，是为了加上得到res结果的那个步骤中，兑换的一个硬币
}
}
memo[amount - 1] = (min == Integer.MAX_VALUE? -1 : min);
return memo[amount - 1];
}
}
动态规划
记忆化搜索是在递归的基础上，进行优化。先从memo[amount - 1]开始，从上到下。
动态规划是从memo[0]开始，从下到上。
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
// 自底向上的动态规划
if(coins.length == 0){
return -1;
}
// memo[n]的值： 表示的凑成总金额为n所需的最少的硬币个数
int[] memo = new int[amount + 1];
memo[0] = 0;
for(int i=1; i<= amount; i++){
int min = Integer.MAX_VALUE;
for(int j=0; j<coins.length; j++){
if(i - coins[j] >= 0 && memo[i-coins[j]] < min){
min = memo[i - coins[j]] + 1;
}
}
memo[i] = min;
}
return memo[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : memo[amount];
}
}
另一种实现
memo[i]有两种实现方式，取两者的最小值
- 包含当前的coins[i], 那么剩余钱就是i - coins[i], 这种操作要兑换的硬币数是memo[i -coins[j]] + 1
- 不包含当前的coins[i],那么要兑换的硬币数就是memo[i]
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
// 自底向上的动态规划
if(coins.length == 0){
return -1;
}
// memo[n]的值： 表示的凑成总金额为n所需的最少的硬币个数
int[] memo = new int[amount + 1];
// 给memo赋初值，最多的硬币数就是全部使用面值1的硬币进行换
// amount + 1 是不可能达到的换取数量，于是使用其进行填充
Arrays.fill(memo, amount + 1);
memo[0] = 0;
for(int i=1; i<=amount; i++){
for(int j=0; j<coins.length;j++){
if(i - coins[j] >= 0){
// memo[i]有两种实现的方式，
// 一种是包含当前的coins[i],那么剩余钱就是 i-coins[i],这种操作要兑换的硬币数是 memo[i-coins[j]] + 1
// 另一种就是不包含，要兑换的硬币数是memo[i]
memo[i] = Math.min(memo[i], memo[i-coins[j]] + 1);
}
}
}
return memo[amount] == (amount + 1)? -1 : memo[amount];
}
}
题解参考：
作者：sugar
链接：https://leetcode.cn/problems/coin-change/solutions/137661/javadi-gui-ji-yi-hua-sou-suo-dong-tai-gui-hua-by-s/
来源：力扣（LeetCode）
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