【面试经典 150 | 回溯】N 皇后 II

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本专栏专注于分析与讲解【面试经典150】算法，两到三天更新一篇文章，欢迎催更……

专栏内容以分析题目为主，并附带一些对于本题涉及到的数据结构等内容进行回顾与总结，文章结构大致如下，部分内容会有增删：

• Tag：介绍本题牵涉到的知识点、数据结构；
• 题目来源：贴上题目的链接，方便大家查找题目并完成练习；
• 题目解读：复述题目（确保自己真的理解题目意思），并强调一些题目重点信息；
• 解题思路：介绍一些解题思路，每种解题思路包括思路讲解、实现代码以及复杂度分析；
• 知识回忆：针对今天介绍的题目中的重点内容、数据结构进行回顾总结。

Tag

【N皇后】【回溯】【位运算】

题目来源

52. N 皇后 II

解题思路

N 皇后问题研究的是将 N 个皇后放置在 nxn 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能互相攻击。因为皇后可横直斜走，且格式不限。所以 N 皇后问题本质上需要保证 nxn 的棋盘上每一行、每一列、每一条与棋盘主副对角线平行的斜线上仅有一个皇后。

本题与 51. N 皇后 基本一致，可以参考 详细分析.

方法一：基于集合的回溯

代码

class Solution {
private:
    // 从第 row 行开始更新
    void backtrack(int& res, vector<int>& queens, int n, int row, 
        unordered_set<int>& columns, unordered_set<int>& diagnoals1, unordered_set<int>& diagnoals2) {
        
        if (row == n) { // 皇后已经放在完 N 行了
            ++res;
        }

        for (int i = 0; i < n; ++i) {   
            if (columns.find(i) != columns.end()) { // 第 i 列已经放置过皇后了
                continue;
            }
            
            int diagnoal1 = row - i;
            if (diagnoals1.find(diagnoal1) != diagnoals1.end()) {   // 与主对角线平行的（包括自己）斜线上有皇后了
                continue;
            }

            int diagnoal2 = row + i;
            if (diagnoals2.find(diagnoal2) != diagnoals2.end()) {   // 与副对角线平行的（包括自己）斜线上有皇后了
                continue;
            }

            queens[row] = i;
            columns.insert(i);
            diagnoals1.insert(diagnoal1);
            diagnoals2.insert(diagnoal2);
            backtrack(res, queens, n, row + 1, columns, diagnoals1, diagnoals2);
            // 恢复现场
            queens[row] = -1;
            columns.erase(i);
            diagnoals1.erase(diagnoal1);
            diagnoals2.erase(diagnoal2);
        }
    }

public:
    int totalNQueens(int n) {
        int res = 0;
        vector<int> queens(n, -1);  // queens[i] = a 表示 i 行皇后的位置为 a
        unordered_set<int> columns;
        unordered_set<int> diagnoals1, diagnoals2;
        backtrack(res, queens, n, 0, columns, diagnoals1, diagnoals2);
        return res;
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：$O(n!)$。

空间复杂度：$O(n)$。

方法二：基于位运算的回溯

以下代码的核心仍是 详细分析 的解法，只是有些地方进行了代码精简。

代码

class Solution {
private:
    int res = 0;

    void backtrack(const int n, int row, int col, int diagnoals1, int diagnoals2) {
        if (row == n) {
            ++res;
            return;
        }

        int bits = ((1 << n) - 1) & ~(col | diagnoals1 | diagnoals2);
        while (bits != 0) {
            int pick = bits & (-bits);
            backtrack(n, row + 1, col | pick, (diagnoals1 | pick) << 1, (diagnoals2 | pick) >> 1);
            bits &= bits - 1;
        }
    }
public:
    int totalNQueens(int n) {
        backtrack(n, 0, 0, 0, 0);
        return res;
    }
};

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