【模板】最近公共祖先（LCA）

树的简介

树常见用来表示家族谱的家族关系，他像一个倒着的树。他的构成为：

• 根节点（ $root$ ）： 所有节点都由一个 根节点（ $root$ ） ，且只有一个 根节点（ $root$ ） 。
• 父亲节点（ $father-node$ ）： 每个 父亲节点（ $father-node$ ） 都有一个或者多个 孩子节点（ $child-node$ ）
• 孩子节点（ $child-node$ ）： 每个 孩子节点（ $child-node$ ） 都有一个 父亲节点（ $father-node$ ） 或者 根节点（ $root$ ）

二叉树 - 特例

二叉树和树基本一样，但是他也和树有一点区别：

• 每一个 父亲节点（ $father-node$ ） 最多只能有两个或者没有 孩子节点（ $child-node$ ）
• 两个 孩子节点（ $child-node$ ） 分别为 左孩子节点（ $left-child-node$ ） 和 右孩子节点（ $right-child-node$ ） ，但是一个二叉树最多只能有两个孩子节点，也可以没有孩子节点

树的存储

树的存储经常使用 邻接表 进行存储，他的存储如下表格：

如果 $1$ 是 $2$ 的父亲节点，那么 $2$ 就是 $1$ 的孩子节点：

我们在代码里可以用 $vector$ 来存储：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
vector<int> G[N];
struct node {
    int v,id;
}
vector<node> Q[N];

int main() {
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int u,v;
    for(int i=1;i<n;i++) {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        Q[u].push_back(node{v,i});
        Q[v].push_back(node{u,i});
    }
    return 0;
}

这样可以用 $vector$ 进行存储，我们也可以用 数组 进行存储：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
bool a[N][N];
int b[N][N];

int main() {
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int u,v;
    for(int i=1;i<n;i++) {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        a[u][v] = true;
        a[v][u] = true;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d",&u,&v);
        a[u][i] = v;
        a[v][i] = u;
    }
    return 0;
}

我们也有可以用 $tarjan$ 算法进行查找：

int find(int x) {	//截枝查找（折半查找）
    if(fa[x] == x) {
        return x;
    }
    return fa[x] == find(fa[x]);
}

void tarjan(int u) {
    vis[u] = 1;
    for(auto v : G[u]) {
        if(!vis[v]) {
            tarjan(v);
            fa[v] = u;
        }
    }
    for(auto e : Q[u]) {
        int v = e.v;
        int id = e.id;
        if(vis[v]) {
            ans[id] = find(v);
        }
    }
}

所以我们可以写出 洛谷的【模板】最近公共祖先（LCA） 代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 5e5+5;
vector<int> G[N];
struct node {
	int v,id;
};
vector<node> Q[N];
int fa[N];
bool vis[N];
int ans[N];

int find(int x) {
	if(x == fa[x]) {
		return x;
	}
	return fa[x] = find(fa[x]);
}

void tarjan(int u) {
	vis[u] = 1;
	for(auto v : G[u]) {
		if(!vis[v]) {
			tarjan(v);
			fa[v] = u;
		}
	}
	for(auto e : Q[u]) {
		int v = e.v;
		int id = e.id;
		if(vis[v]) {
			ans[id] = find(v);
		}
	}
}

int main()
{
	int n,m,s;
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	int u,v;
    // 使用vector进行存储
	for(int i=1;i<n;i++) {
		scanf("%d%d",&u,&v);
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d",&u,&v);
		Q[u].push_back(node{v,i});
		Q[v].push_back(node{u,i});
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		fa[i] = i;
	}
    // 使用 tarjan算法 进行查找
	tarjan(s);
    // 输出
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		printf("%d\n",ans[i]);
	}
	return 0;
}

这样我们就可以完成洛谷的 【模板】最近公共祖先（LCA） 了