[移动通讯]【无线感知-P1】[从菲涅尔区模型到CSI模型-3][Mobius transformations-3]

2024-04-23 11:30:05
开发
10

前言：

参考 Professor Bonfert-Taylor's 《Mobius transformations》，我们重点理解

因此莫比乌斯变换是共形映射（ conformal mappinngs ）以及反演特性inversion

目录

mobious transfromation 定义
mobious transfromation 性质
mobious transfromation 例子

一 mobious transfromation 定义

mobious 变换有时候也称为分数线性变换(fractional linear transformation)

例一： Mobius transformation

满足约束条条件,是mobious transfromation.

1.1 当 $c\neq 0,z\rightarrow \infty$

b,d 可以忽略，则

$f(z)=\frac{az}{cz}=\frac{a}{z}$

1.2 当 $c= 0,z\rightarrow \infty$

$f(z)=\frac{az+b}{d}\rightarrow \infty$

我们因此定义

$f(z)=\left\{\begin{matrix} \frac{a}{c} , if \, \, z \rightarrow \infty & c \neq 0 \\ \infty, if \, \, z \rightarrow \infty & c =0 \end{matrix}\right.$

1.3 $c \neq 0, cz+d=0$

$z=\frac{-d}{c}$

$f(z)=\frac{az+b}{0}\rightarrow \infty$

因此，我们将 f 是定义在扩充复平面上的映射.

扩充复平面是指在普通的复平面z加入无穷远点构成的集合

二 Properties of mobious transfromation.

1.1 f(z) 是非常数（non-constant ）

证明：

先求导,导数不为0,所以f(z)不能是常数

对于任意z ， $f^{'}(z)\neq 0$ ,因为导数不为0 ，所以f(z)也不能为常数

1.2 非唯一性(not uniquely)

如果分子分母同乘以一个constant k我们发现结果不变,所以对于给定的变换f(z) a,b,c,d并不是唯一的.

$f(z)=\frac{k(az+b)}{k(cz+d)}=f(z)$

1.3 one to one 一对一映射

后面通过这点去理解 images and pre-images of infinity 无穷远的像和原像一一对应关系。

三放射变换性质（affine transformation ）

设 c= 0,d=1, 则 $f(z)=az+b$ ,

因为 Mobius 变换

$ad-bc \neq0\rightarrow a \neq 0$

做旋转,膨胀,平移等操作（rotation dilation translation）

i.e b=0 时

$f(z)=az$ 相当于对原图像做旋转和膨胀（rotation&dilation）

i.e a=1 时

$f(z)=z+b$ 对原图像做平移（translation）

通过极坐标可以很容易查看出来。

四反演变换（inveration）性质

4.1 定义

当 $a=0,b=1,c=1,d=0: f(z)=\frac{1}{z}$ 这就是反演（inversion）

4.2 保圆性例1：

设 $z=re^{j\theta}$ 则 $f(z)=\frac{1}{r}e^{-j\theta}$

4.2 不过圆心的circle 反演（Inversion）：

设圆通过mobius 变换后的图像是什么呢？

设 $k=\begin{Bmatrix} z:|z-3|=1 \end{Bmatrix}$ 是一个半径为1的圆，中心点在3.

那经过Mobius Inversion 变换后的图像 $f(k)$ 是什么呢？

根据Inversion 定义：

$w=f(z)=\frac{1}{k}$

$k=\frac{1}{w} \in K$

几何效果如下

4.3 过圆心的circle 反演（Inversion）

$K=\begin{Bmatrix} z:|z-1|=1 \end{Bmatrix}$ 是半径为1的圆，中心点在1，那么f(k)是什么？

几何意义：

过圆心的圆通过Mobius 变换后得到一个 $Re(W)=\frac{1}{2}$ 的直线

我们总结一下映射关系

4.4：直线的反演（Inversion）

设直线 $L=\begin{Bmatrix} {z:z=t+it,-\infty<t<\infty} \end{Bmatrix}$

则

参考：

https://www.youtube.com/watch?v=b6QJ6pb30q8

https://www.youtube.com/watch?v=u2e0Dc1wV2k&t=233s

默比乌斯变换_百度百科

原文地址:https://blog.csdn.net/chengxf2/article/details/138070049 本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如若转载，请注明出处：https://www.suanlizi.com/kf/1782612883113381888.html 如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系《酸梨子》网邮箱：1419361763@qq.com进行投诉反馈，一经查实，立即删除！

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