14届蓝桥杯 C/C++ B组 T5 接龙排序 （最长上升子序列DP+优化）

不难发现这是一个LIS问题，但是如果直接套用LIS的模版，在数据范围到达 $1e5$ 的情况下，就只能够得到一半的分数，所以我们需要对其进行优化。

首先给出暴力的代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;

string a[N];	//为了方便比较数的首尾，直接用string类型存
int f[N];

int main(){
	int n;cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)cin >> a[i];

	for(int i = 1;i <= n;i++){
		f[i] = 1;
		for(int j = 1;j < i;j++){
			if(a[i][0] == a[j][a[j].length() - 1])
				f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
		}
	}
	
	int res = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)res = max(res,f[i]);

	cout << n - res;
	return 0;
}

那么如何优化，注意到暴力程序只有一个地方达到了两层的循环，所以我们只要优化掉一层循环即可。
那么如何优化以下代码：

for(int j = 1;j < i;j++){
	if(a[i][0] == a[j][a[j].length() - 1])
		f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
}

此处代码写出来是为了枚举比较首尾，那么如果我们能够直接定位和a[i]的首部相同尾部的子序列的长度不就不需要判断了吗。

所以使用一个数组来存尾部是 $1$ ~ $9$ 中某一个数结尾的接龙子序列的最长长度，在状态转移时直接省掉了判断的步骤。

优化代码：

#include<iostream>
#include<map>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;

string a[N];
map<char,int>m;
int f[N];

int main() {
    int n; cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i] = 1;
        f[i] = max(f[i],m[a[i][0]] + 1);
        m[a[i][a[i].length() - 1]] = max(f[i],m[a[i][a[i].length() - 1]]);//这里必须取max，因为f[i]不一定就更大
    }

    int res = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++)res = max(res,f[i]);
    cout << n - res;
    return 0;
}