多轴机械臂/正逆解/轨迹规划/机器人运动学/Matlab/DH法 学习记录01——数学基础

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本科毕设正在做多轴机械臂相关的内容，这里是一个学习机械臂运动学课程的相关记录。
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1. 数学基础

一、空间位置、姿态描述

1. 运动学建模分类
   正运动学：根据协作机器人的关节角度，计算末端位姿。
   逆运动学：已知机器人末端位置，反解其关节角，涉及多解问题。
2. 空间某点位置
   3 x 1的位置矢量
   空间点p=[x0 y0 z0]T（列向量）
3. 一个刚体的姿态如何描述
   平面：移动2 DOFs(degree of freedom)、转动1 DOFs（两个面一个转动，c22=1)
   空间：移动3 DOFs(degree of freedom)、转动3 DOFs（两个面一个转动，c32=3)
   
   由上图可知（红色为刚体质心随时间变化的轨迹），刚体的移动由body frame的原点位置判定；刚体的转动由body frame的姿态判定。
   利用各个DOF的微分/二次微分，将位移和姿态转换到速度和加速度的运动状态。
4. 转动（旋转矩阵）
   描述B相对于A的姿态。（觉得湾湾翻译不太一样哈哈哈，其中direct cosines应为direction cosines？我理解就是方向余弦）
   那其实也可以很显然的发现，旋转矩阵是一个正交矩阵。其每一列都是单位矩阵，并且两两正交（坐标轴不就是互相垂直的嘛）。
   

二、旋转矩阵（Rotation matrix）

1.特性

（其实就是正交矩阵的转置亦为其逆）


其实此矩阵的秩=3（阶数），所以转动具有3个DOFs。

2.用法

1. 描述一个frame相对于另外一个frame的姿态

2. 将point由某个frame的表达，转换到另一个frame。（可以联想一下线代里面有关于基向量那部分的知识，同一个向量在不同坐标系中的表达）
   

3. 将point在同一个frame中进行转换。
   

3.旋转矩阵与转角（旋转的前后顺序不能互换）

1. 两个拆解方式
   Fixed angles：对方向固定不动的转轴旋转；
   Euler angles：对转动的frame当下所在的转轴方向旋转。
2. 把旋转矩阵所表达的姿态，拆解成3次旋转角度需注意：
   多次旋转的先后顺序需定义；
   旋转转轴需要明确定义。
3. 对应于绕x，y，z轴旋转θ角度的位姿变化，对应的旋转矩阵分别为：（逆时针为正方向）

4. Fixed angles（按照x——y——z顺序转）
   已知各轴分别较之Fixed angles的旋转角度，如何推算旋转矩阵？
   （新变换要左乘）
   
   已知旋转矩阵，如何推算各轴分别较之Fixed angles的旋转角度？
   注意：atan2是一个函数，在C语言里返回的是指方位角，C 语言中atan2的函数原型为 double atan2(double y, double x) ，返回以弧度表示的 y/x 的反正切。y 和 x 的值的符号决定了正确的象限。也可以理解为计算复数 x+yi 的辐角，计算时atan2 比 atan 稳定。
   
5. Euler angles（按照z——y——x顺序转）
   （新变换要右乘，其实就是绝对坐标左乘，相对坐标右乘）这样就保证了，虽然Euler和fixed angles变换的转轴不一致，但仍能得到相同的公式。
   已知各轴分别较之Fixed angles的旋转角度，如何推算旋转矩阵？
   
   已知旋转矩阵，如何推算各轴分别较之Fixed angles的旋转角度？
   
6. Euler/Fixed angles
   三次转动共有322=12个拆解方法（只要前后两个不一致即可）
   Euler正转和Fixed angles反转是有一致性的。
7. Angle-axis表达法
8. Quaternion表达法（四元素法）
   

三、变换矩阵

1.如何将移动和转动整合在一起

Homogenous transformation matrix
（以下为mapping角度）

以下图片为Homogenous transformation matrix的证明：（org为B原点）

并且可以做连乘

（以下为operator角度）

（先转动再移动）

其实可见，移动是加法，转动是乘法。
以下是对两个的理解：
Operators： mapping理解为定位（本身不动，将point由某个frame的表达换到另一个frame来表达），operator理解为变换（本身变了，将point在同一个frame中进行移动和转动）
operator只有一个坐标系，mapping是在二个或多个坐标系。
也就是说对于一个旋转矩阵（我们的本质需求），我们有两种理解方式，一种是线性代数几何应用的Operation，一种是矩阵分析中过渡矩阵的mapping。（来源：）

因为运动是相对的，所以当Homogenous transformation matrix当operator时对向量/点进行移动或转动的操作，也可以想象成是对frame进行反向的。即为point向前/顺时针移，frame往后/逆时针移。

2.transformation matrix运算

1. 连续运算
   

2. 反矩阵
   

3. 连续运算，求未知之相对关系
   

4. 连续运算法则
   mapping可以理解为映射，而operator可以理解为变化。

总结

以上就是今天要讲的内容，本文仅仅简单介绍了 多轴机械臂/正逆解/轨迹规划/机器人运动学/Matlab/DH法的学习记录01——数学基础，而Matlab提供了大量能使我们快速便捷地处理数据的函数和方法。如有任何问题，可发邮件至layraliu@foxmail.com问询。