双连通分量算法

1. 连通图概念

连通图：无向图任意两点之间存在通路。
强连通：有向图（前提）中，任意两点都有至少一条通路，则此图为强连通图。
弱连通图：将有向图的有向边换成无向边得到的图是连通图，则此有向图是弱连通图。

1.1 连通图和强连通图区别

连通图和强连通图的主要区别在于它们处理无向图和有向图的方式。以下是详细介绍：

连通图。 连通图的概念基于无向图，其中如果任意两个顶点之间都存在一条路径，那么整个图被称为连通图。这意味着，从任何一个顶点出发，都可以通过路径到达图中的任何其他顶点。
强连通图。 强连通图的概念则针对有向图，其中不仅要求从顶点vi到顶点vj存在路径，还要求从顶点vj到顶点vi也存在路径，对于所有顶点对vi和vj。这意味着图中不存在方向性的障碍，任意两个顶点之间可以相互到达。
简而言之，连通图关注的是无向图中顶点的连接性，而强连通图关注的是有向图中顶点的双向连接性。

2. Targan强连通分量算法

2.1 基本概念

强连通分量： 在有向图G中，如果两个顶点u,v间（u->v）有一条从u到v的有向路径，同时还有一条从v到u的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。

$\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 是三个强连通分量。

2.1 DFS遍历

方式1可以看作前序遍历

方式2可以看作后序遍历

3. 举例

回溯，更新$j$

相同$j$出栈

$a$也出栈，单独连通分量。

4. 代码实现

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define M (INT_MAX)
#define PRINT_ARRAY(a,n)    do{for(int i = 0; i < n; i++) cout<<a[i]<<"|"; cout<<endl;}while(0)

/**********************************************
    1 → 0 → 3
    ↑ ↙     ↓
    2       4

    3 → 4 ← 6 → 2
    ↑↓  ↓ ↗ ↓ ↙↑
    7 → 5 → 0 → 1
**********************************************/
// #define V (5)
// int g[V][V] = 
// {
//     {0,0,1,1,0},
//     {1,0,0,0,0},
//     {0,1,0,0,0},
//     {0,0,0,0,1},
//     {0,0,0,0,0}
// };

#define V (8)
int g[V][V] = 
{ // 0 1 2 3 4 5 6 7  
    {0,1,0,0,0,0,0,0},
    {0,0,1,0,0,0,0,0},
    {1,0,0,0,0,0,0,0},
    {0,0,0,0,1,0,0,1},
    {0,0,0,0,0,1,0,0},
    {1,0,0,0,0,0,1,0},
    {1,0,1,0,1,0,0,0},
    {0,0,0,1,0,1,0,0}
};

/**********************************************
    强连通分量 strongly connected component
**********************************************/

void tarjan_dfs(int x, int dfn[], int low[], stack<int>& s, bool in_stack[])
{
    static int time = 1;
    dfn[x] = low[x] = time++;
    s.push(x);
    in_stack[x] = true;

    for(int y = 0; y < V; y++)
    {
        if(g[x][y])
        {
            if(0 == dfn[y])
            {
                tarjan_dfs(y, dfn, low, s, in_stack);
                low[x] = min(low[x], low[y]);
            }
            else if(in_stack[y])
                low[x] = min(low[x], dfn[y]);
        }
    }

    if(dfn[x] == low[x])
    {
        int tmp;
        do
        {
            tmp = s.top(); s.pop();
            in_stack[tmp] = false;
            cout<<tmp<<"-";
        }while(tmp != x);
        cout<<endl;
    }
}

void scc_tarjan()
{
    int dfn[V] = {0}, low[V] = {0};
    bool in_stack[V] = {false};
    stack<int> s;
    for(int i = 0; i < V; i++)
        if(!dfn[i])
            tarjan_dfs(i, dfn, low, s, in_stack);
}

int main()
{
    scc_tarjan();

    return 0;
}

参考资料：
https://www.bilibili.com/video/BV19J411J7AZ?p=1&vd_source=63c3682e66febb42e6a271165dd5a13e
https://github.com/xiaoyazi333/data-structure-and-algorithm/