当一个数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差是11的倍数时，这个数就是11的倍数。这个性质可以通过数学归纳法和模运算的性质来证明。
观察模运算的性质
首先，观察到对于任意正整数 k，10^k 对 11 取模的结果是循环的：
1 0 0 ≡ 1 ( m o d 11 ) 1 0 1 ≡ − 1 ( m o d 11 ) 1 0 2 ≡ 1 ( m o d 11 ) 1 0 3 ≡ − 1 ( m o d 11 ) ⋮ \begin{align*} 10^0 & \equiv 1 \pmod{11}\\ 10^1 & \equiv -1 \pmod{11}\\ 10^2 & \equiv 1 \pmod{11}\\ 10^3 & \equiv -1 (mod 11)\\ &\vdots \end{align*} 100101102103≡1(mod11)≡−1(mod11)≡1(mod11)≡−1(mod11)⋮
即奇数次幂对 11 取模得到 1，偶数次幂对 11 取模得到 -1。
数位表示与模运算
考虑一个 n n n 位数，其中 a i a_i ai 是 N N N 的各位数字，n 是数字的位数。
N = a n ∗ 1 0 n − 1 + a n − 1 ∗ 1 0 n − 2 + ⋯ + a 2 ∗ 10 1 + a 1 ∗ 1 0 0 N = a_n * 10^{n-1} + a_{n-1} * 10^{n-2} + ⋯ + a_2 * {10}^1 + a_1*10^0 N=an∗10n−1+an−1∗10n−2+⋯+a2∗101+a1∗100
根据模运算的性质，有：
- 如果一个数位在奇数位置（即 1 0 k 10^k 10k 的幂次是奇数），则其贡献为 a i ∗ 1 0 i − 1 ≡ a i ( m o d 11 ) a_i * 10^{i-1} ≡ a_i (mod {11}) ai∗10i−1≡ai(mod11)
- 如果一个数位在偶数位置（即 1 0 k 10^k 10k 的幂次是偶数），则其贡献为 a i ∗ 1 0 i − 1 ) ≡ − a i ( m o d 11 ) a_i * 10^{i-1)}≡ -a_i (mod 11) ai∗10i−1)≡−ai(mod11)
推导差的表达式
将所有位的贡献累加起来，可以得到：
N ≡ ( a n + a n − 2 + ⋯ + a 2 + a 0 ) − ( a n − 1 + a n − 3 + ⋯ + a 1 ) ( m o d 11 ) ≡ ( a n − a n − 1 + a n − 2 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 a 1 ) ( m o d 11 ) \begin{align*} N & \equiv (a_n + a_{n-2} + ⋯ + a_2 + a_0) - (a_{n-1} + a_{n-3} + ⋯ + a_1) (mod 11)\\ & \equiv (a_n - a_{n-1} + a_{n-2} - ⋯ + (-1)^{n-1}a_1) (mod 11)\\ \end{align*} N≡(an+an−2+⋯+a2+a0)−(an−1+an−3+⋯+a1)(mod11)≡(an−an−1+an−2−⋯+(−1)n−1a1)(mod11)
结论
如果一个数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，即 N ≡ 0 ( m o d 11 ) N ≡ 0 (mod 11) N≡0(mod11)，那么根据模运算的性质，这个数就是11的倍数。
因此，当一个数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数时，这个数就是11的倍数。
