法向量估计

1. 求解点P法向量的原理

已知有一组点$P=(p_1,p_2,p_3,...,p_n),p_i\in R_3$，求点$p_3$的法向量的通用步骤：

• 确定邻域：首先需要确定点 P 的邻域，即在点云中与点 P 相邻的点的集合。通常情况下，可以通过设置一个固定的半径或者固定数量的最近邻来定义邻域。
• 计算局部表面拟合：对于确定的邻域内的点，可以使用拟合曲面的方法来估计局部表面形状。常用的拟合方法包括最小二乘拟合、主成分分析（PCA）拟合等。这些方法可以得到一个与邻域内点最适合的平面、曲线或曲面。
• 计算法向量：通过拟合得到的局部表面形状，可以计算点 P 的法向量。对于平面拟合，法向量即为拟合平面的法向量；对于曲面拟合，可以通过对曲面方程求导得到法向量。
• 后处理：在计算法向量后，可以进行一些后处理操作，比如法向量的平滑化、去噪等，以提高法向量的质量和稳定性。

这里给出使用PCA求解的步骤和代码

• 确定领域，得到邻域内的所有点
• 求邻域内点组成的矩阵$M\in R_{n\times 3}$的协方差矩阵的奇异值分解
• 求左奇异值矩阵的特征向量，最小的特征值对应的特征向量即为所求

    normals = []
    radius = 0.05
    leaf_size = 5  
    tree = KDTree(points,leaf_size)
    near_point_idx = tree.query_radius(points,radius)#每一点的邻居点索引,包含自身点
    
    for i in range(points.shape[0]):
        point_near = points[near_point_idx[i]] #某一点的邻居点，
        v = PCA(point_near)
        normal = v[:,2]
        normals.append(normal)
    normals = np.asarray(normals)

2. 法向量估计的证明

为什么最小特征值对应的特征向量即为法向量方向

3. 为什么求点P的法向量，需要使用以P为中心的邻域内的点？

假设点P为这组点的中心，只要求所有点到点P的切平面的距离的L2范数最小，就说明这个切平面最接近这簇点的表面形状

4. 法向量估计的应用和思考

• 应用
  分割,聚类,平面检测
• 思考半径选择太大，会受到不相关部分影响，导致法向量平滑；半径过小会容易受到噪声影响；半径不仅可以使用欧式空间邻域，同样可以使用其他尺度的邻域，包括反射率邻域，颜色邻域等；也可以根据周围点对点P的影响程度，在求法向量的时候为每个点加上权重

5. 权重法向量估计

也就是求$\bar{X}W{\bar{X}}^T$的最小特征向量，$\bar{X}$是一组输入向量的去中心化向量。