C++计算资本市场收益及成本分配数学方程

🎯 要点

1. 固定收益市场计算公式和模型：🎯C++计算简单利率。🎯C++计算离散复利利率和连续复利。🎯现金流建模，C++计算未来付款的现值，使用STL容器。🎯债卷建模，创建 C++ 类模拟债券工具并确定其年利率。
2. 股票市场计算公式和模型：🎯C++计算给定股权投资，确定收盘价的简单移动平均线和指数移动平均线。🎯C++计算特定权益工具的波动性。🎯C++计算两种权益工具之间的相关性。🎯C++计算股票基本指标。
3. C++计算技巧：🎯C++计算投资工具的利率。🎯C++计算财务报表并将其返回给调用客户端，同时避免返回数据泄漏。🎯C++确定证券的信用评级。🎯C++处理交易订单（买入、卖出或卖空）。🎯C++处理分析师的建议并返回股票的平均目标价格。🎯C++设计常见时间序列转换（添加或减去价格值以及删除不需要的值）。🎯C++复制存储交易文件。🎯C++处理交易日期。🎯C++矩阵表示交易数据运算。🎯C++使用模板计算阶乘。🎯C++表示卡玛比率，其是投资回报与可能的年度损失相比的衡量标准。 🎯C++生成统计分布，如高斯和卡方。🎯使用绘图工具和Qt C++绘图绘制价格图。
4. 金融数学工具：🎯C++线性代数及其工具。🎯C++线性插值和多项式插值。🎯C++计算方程根方法：二分法、割线法、牛顿法。🎯C++数值积分法：中值法、梯形法、辛普森法和图解。🎯C++使用欧拉法求解常微分方程。🎯C++龙格-库塔法解常微分方程。🎯C++求解布莱克-斯科尔斯方程。🎯C++使用第三方库线性规划求解器。🎯C++线性规划建模，求解决已知回报投资的金融产品分配决策。🎯C++创建混合整数规划模型。
5. 🎯C++使用线性规划模型，确定项目及其成本的最佳资源分配。🎯C++资产定价模型，确定最佳投资组合。🎯C++蒙特卡罗积分函数，模拟资产价格波动。🎯C++计算期权概率。

🍇C++牛顿-拉夫逊法寻找隐含波动性

牛顿-拉夫逊法

在满足某些假设的情况下，牛顿拉夫森算法是一种更有效的求根算法。特别是，$g$ 必须具有易于计算的导数。如果导数是可分析计算的，那么这会进一步提高效率。 $g$ 还必须“表现良好”，即它不能变化太大，否则该方法中使用的导数近似会变得更加不准确。

牛顿-拉夫逊的思想是使用解析导数对应该出现解的位置进行线性估计，这比区间二分法所采用的中点方法准确得多。因此，$g的起始近似值g_0$ 由下式给出（其中 $x_0$ 是我们的初始猜测）：
$$g_0(x)=g\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right)g^{\prime }\left(x_0\right)$$
这可以重新排列为 $x$ ：
$$x=\frac{y-g\left(x_0\right)}{g^{\prime }\left(x_0\right)}+x_0$$
这会导致 $x$ 的更准确值的递归关系：
$$x_{n+1}=\frac{y-g\left(x_n\right)}{g^{\prime }\left(x_n\right)}+x_n$$
对于某些预先指定的容差 $ϵ$，与区间二分一样，当 $\left|g\left(x_n\right)-y\right|<ϵ$ 时算法终止。

用我们的金融符号重写，关系变为：
$${\sigma }_{n+1}=\frac{C_M-B\left({\sigma }_n\right)}{\frac{\partial B}{\partial \sigma }\left({\sigma }_n\right)}+{\sigma }_n$$
我们可以使用这种关系通过终止标准找到隐含波动率。

算法实现

double call_vega(const double S, const double K, const double r, const double sigma, const double T) {
  return S * sqrt(T) * norm_pdf(d_j(1, S, K, r, sigma, T));
}

以下是 black_scholes.h 的新标头列表：

#ifndef __BLACK_SCHOLES_H
#define __BLACK_SCHOLES_H

class BlackScholesCall {
private:
  double S;  
  double K;  
  double r;  
  double T; 

public:
  BlackScholesCall(double _S, double _K, 
                   double _r, double _T);

  double option_price(double sigma) const;
  double option_vega(double sigma) const;
};
#endif

源列表也已更改为包含 option_vega 的实现，如 black_scholes.cpp 中所示：

#ifndef __BLACK_SCHOLES_CPP
#define __BLACK_SCHOLES_CPP

#include "black_scholes.h"
#include "bs_prices.h"

BlackScholesCall::BlackScholesCall(double _S, double _K, 
                                   double _r, double _T) :
  S(_S), K(_K), r(_r), T(_T) {}


double BlackScholesCall::option_price(double sigma) const {
  return call_price(S, K, r, sigma, T);
}


double BlackScholesCall::option_vega(double sigma) const {
  return call_vega(S, K, r, sigma, T);
}

#endif

下一阶段是创建牛顿-拉夫逊求解器本身。函数模板将接受一个 T 类型的对象（函子）和两个指向 T、g 和 g_prime 的成员函数（方法）的指针。以下是 newton_raphson.h 的列表：

#ifndef __NEWTON_RAPHSON_H
#define __NEWTON_RAPHSON_H

#include <cmath>

template<typename T, 
         double (T::*g)(double) const,
         double (T::*g_prime)(double) const>
double newton_raphson(double y_target,       
                      double init,           
                      double epsilon,        
                      const T& root_func) {  

  double y = (root_func.*g)(init);  
  double x = init;                  

  while (fabs(y-y_target) > epsilon) {
    double d_x = (root_func.*g_prime)(x);
    x += (y_target-y)/d_x;
    y = (root_func.*g)(x);
  }
  return x;
}

#endif

现在我们可以创建 main() 函数来将所有代码包装在一起：

#ifndef __MAIN_CPP
#define __MAIN_CPP

#include "black_scholes.h"
#include "newton_raphson.h"
#include <iostream>

int main(int argc, char **argv) {

  double S = 100.0;  
  double K = 100.0;  
  double r = 0.05;   
  double T = 1.0;    
  double C_M = 10.5; 

  BlackScholesCall bsc(S, K, r, T);

  double init = 0.3; 
  double epsilon = 0.001;

  double sigma = newton_raphson<BlackScholesCall, 
                                &BlackScholesCall::option_price,
                                &BlackScholesCall::option_vega>(C_M, init, epsilon, bsc);

  std::cout << "Implied Vol: " << sigma << std::endl;

  return 0;
}

#endif

代码的输出由下式给出：

Implied Vol: 0.201317

参阅：亚图跨际