LIS、LCS算法模型

1.LCS算法模型

LCS问题就是给定两个序列A和B，求他们最长的公共子序列。
在求解时，我们会设dp[i][j]表示为A[1 ~ i]序列和B[1 ~ j]序列中（不规定结尾）的最长子序列的长度。

if(a[i]==b[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);

就是说，当a[i]=b[j]时，可以将他们作为插入到LCS的后面，长度加1即可；当a[i]!=b[j]时，说明此时LCS不会演唱，那么就要从dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中取大的作为最长的长度。

例题：

示例代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
const ll N = 1e3+5;
int n,m;
ll a[N],b[N],dp[N][N];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int j=1;j<=m;j++)cin>>b[j];
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(a[i]==b[j])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
			else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
		}
	}
	cout<<dp[n][m];
	return 0;
}

如何求出具体的最长子序列？

	vector<int> v;
	int x=n,y=m;
	// 只需要从dp[n][m]向前搜索即可，如果相等则回到左上方，否则回到max(上边，左边)
	while(x&&y){
		if(a[x]==b[y]){
			v.push_back(a[x]);
			x--,y--;//左上走 
		}else if(dp[x-1][y]>dp[x][y-1])x--;//向大的走
		else y--; 
	}
	reverse(v.begin(),v.end());
	for(const auto &i:v)cout<<i<<' ';

2.LIS算法模型

最长上升子序列是一个经典的DP模型。
子序列指的是一个序列中，按照原顺序选出若干个不一定连续的元素所组成的序列。
在求解LIS时，一般我们会设dp[i]表示1~i序列中以a[i]结尾的最长上升子序列的长度。
状态转移方程为：dp[i] = max(dp[j] + 1),if a[i] > a[j]
表示a[i]要插入到不同的子序列后面的情况。

模板例题：

示例代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3+5;
int a[N],dp[N];
// 设状态 dp[i]表示1~i的最长上升子序列的长度，状态转移方程为 dp[i]=max(dp[j]+1) if a[i]>a[j] 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cout.tie(nullptr);
	int n;cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(a[i]>a[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}