Python数值和符号算法计算及3D视图物理数学波形方程

要点

1. Python数值和符号计算及3D可视化以下物理方程：
   1. 物理数学方程分析：二分算法和牛顿-拉夫森算法解方程根。最小二乘法拟合方程和数据。短期傅里叶变换和小波分析非平稳信号。使用主成分分析复杂和大型数据集，提取时空相关性，分形维数测定。
   2. 非线性震动常微分方程：四阶龙格-库塔法求解和绘制受迫振荡器常微分方程。符合计算谐振子解。计算方形台球内的轨迹并生成动画结果。二阶Verlet积分算法求解射弹的轨迹。求解天王星和海王星的轨道及其相互作用。
   3. 波形方程和流体力学偏微分方程：蛙跳算法求解波动方程。解具有摩擦力的悬链线波浪方程。计算二维波的解析解。数值求解振动膜的波动方程。使用 Lax-Wendroff 法解平流方程。解一维孤波 KdV 方程和绘制动画结果。解二维孤波正弦-戈登方程。解三种流体状态下纳维-斯托克斯方程。
   4. 电磁拉普拉斯方程和泊松方程转换为有限差分方程：解三角形导体内的拉普拉斯方程并绘制图形。创建极坐标图并绘图。计算电荷电势并绘制电场图形。3D图形确定导电平面电荷电场。可视化电荷的电子场线及其图像。时域有限差分解不同方向波麦克斯韦方程组并绘制结果图。解电报传输波形方程并绘制动画结果。洛伦兹场计算和绘图。视觉效果观察电荷运动。计算薄膜反射和透射光的强度分布和光谱。
   5. 量子力学薛定谔积分方程：四阶龙格-库塔法解一维谐振子波函数的薛定谔方程。符号计算求解一维谐振子波函数的薛定谔方程。计算求解任意势的薛定谔方程。使用努梅罗夫算法数值求解薛定谔方程的束缚态。解动量空间中 Delta 壳势的束缚态。模拟射线自发衰减并触发盖革计数器声音。解勒让德多项式常微分方程并使用四阶龙格-库塔法绘制结果图形。使用四阶龙格-库塔法求解氢的薛定谔方程并计算径向密度。有限差分算法求解瞬态薛定谔方程。动画可视化和计算谐振子内波包运动。计算和动画绘制谐振子带电粒子的波包。计算散射并评估球面贝塞尔和诺依曼函数。求解方形台球桌上波包运动的瞬态薛定谔方程。计算规则库仑散射波函数。计算谐振子的相干格劳伯态并绘制动画结果。符号计算氢的超精细分裂。数值计算纠缠量子态的哈密顿量、特征值和特征向量。线性代数构数值计算夸克的对称群算子的矩阵。使用大都会算法模拟经典轨迹的变化，使用费曼路径积分确定基态概率。

Python符号和数值计算球谐函数示例

球谐函数是数学和物理学中用来描述各种现象的强大工具。 它们可用于模拟物理现象，例如声波、传热，甚至量子系统，并且每当您在球坐标中处理偏微分方程时，它们就会出现。 在此，我们将探讨什么是球谐函数、它们最重要的属性、它们的工作原理以及它们为何如此有用。 最后，我们将了解如何在 Python 中以数字和符号方式使用它们。 我们将为这些函数创建我们自己的可视化，以便您可以自己使用它们。

球谐函数是根据球体上的角坐标（纬度和经度）定义的，并且具有以下属性：它们是拉普拉斯算子的角部分的本征函数。在球坐标中，拉普拉斯算子应用于函数 𝑓 时为
$${\nabla }^{2}f=\frac{1}{r}\frac{{\partial }^2}{\partial r^2}(rf)+\underset{L^{2}f}{\underbrace{\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}}}$$
其中$\theta$是极角，$\phi$是方位角。所以拉普拉斯自然地分裂成径向部分和角度部分$\left(L^2\right)$。球谐函数是拉普拉斯算子的角部分的本征函数。 这意味着当拉普拉斯算子的角度部分应用于球谐函数时，结果是原始函数的标量倍数：
$$L^2{Y}_{lm}(\theta ,\phi )=-l(l+1)Y_{lm}(\theta ,\phi )$$
其中$L^2$是拉普拉斯算子的角度部分，$Y_{lm}(\theta ,\phi )$是1次、$m$阶的球谐函数，$-l(l+1) $ 是函数的特征值。

球谐函数的正交性表明，如果两个球谐函数的次数和阶次不相等，则两个球谐函数的乘积在球表面上的积分等于零。 这与正弦和余弦也具有相同的性质。形式上，球谐函数的正交性可以表示为：
$${\int }_{\theta =0}^{\pi }{\int }_{\phi =0}^{2\pi }{Y}_{lm}{Y}_{l^{\prime }{m}^{\prime }}^{\ast }d\Omega ={\delta }_{l{l}^{\prime }}{\delta }_{m{m}^{\prime }}$$
其中 ${\delta }_{mn}$ 是克罗内克增量，如果 $m=n$ 则为 1，否则为 0，$d\Omega =\sin \theta d\theta d\phi$ 是积分的积分度量球体的表面。请注意，许多球谐函数都是复数，这就是公式中存在共轭星形的原因。

符号计算

from sympy import *

θ, φ = symbols(r"\theta, \phi")
l, m = symbols("l, m", integer=True)

球谐函数可以通过函数 Ynm 访问。在参数列表中，$l$ 排在第一位，$m$ 排在第二位。角度的顺序是 $(\theta ,\phi )$ ：

Y = Ynm(l, m, θ, φ)

球谐函数可以用三角函数来表示。我们可以使用 SymPy 轻松列出它们，在本例中，最多 𝑙=3：

for l_ in range(3):
    for m_ in range(0, l_+1):
        Y = Ynm(l_, m_, θ, φ)
        display(
            Eq(
                Y, Y.rewrite(cos)
            )
        )

$$\begin{array}{rl}& Y_0^0(\theta ,\varphi )=\frac{1}{2\sqrt{\pi }}\\ & Y_1^0(\theta ,\varphi )=\frac{\sqrt{3}\cos (\theta )}{2\sqrt{\pi }}\\ & Y_1^1(\theta ,\varphi )=-\frac{\sqrt{6}{e}^{i\varphi }\sin (\theta )}{4\sqrt{\pi }}\\ & Y_2^0(\theta ,\varphi )=\frac{\sqrt{5}\cdot \left(3{\cos }^2(\theta )-1\right)}{4\sqrt{\pi }}\\ & Y_2^1(\theta ,\varphi )=-\frac{\sqrt{30}{e}^{i\varphi }\sin (2\theta )}{8\sqrt{\pi }}\\ & Y_2^2(\theta ,\varphi )=\frac{\sqrt{30}{e}^{2i\varphi }{\sin }^2(\theta )}{8\sqrt{\pi }}\end{array}$$

请注意，我们没有列出负 𝑚 的球谐函数，因为它们与正 𝑚 的对应函数密切相关。

数值计算

from scipy.special import sph_harm

l_ = 1
m_ = 1
theta = np.pi/2
phi = 0
sph_harm(m_, l_, phi, theta)

但通常，在数值计算中，您想要给出角度值数组，这可以在 NumPy 中轻松完成：

import numpy as np

theta = np.linspace(0, np.pi, 100)
phi = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
Theta, Phi = np.meshgrid(theta, phi, indexing="ij")
sph_harm(m_, l_, Phi, Theta)

下面是一个小函数，可以使用 Python 包绘制任何所需的球谐函数图：

import plotly.graph_objects as go

def create_figure(l, m):

    thetas = np.linspace(0, np.pi, 100)
    phis = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
    
    Thetas, Phis = np.meshgrid(thetas, phis)
    fcolors = ylm.real
    fmax, fmin = fcolors.max(), fcolors.min()
    fcolors = (fcolors - fmin)/(fmax - fmin)

    R = abs(ylm)
    X = R * np.sin(Theta) * np.cos(Phi)
    Y = R * np.sin(Theta) * np.sin(Phi)
    Z = R * np.cos(Theta)

    fig = go.Figure(
                data=[
                    go.Surface(
                        x=X, y=Y, z=Z, 
                        surfacecolor=fcolors,
                        colorscale='balance', showscale=False, 
                        opacity=1.0, hoverinfo='none',
                    )
                ]
    )

    fig.update_layout(title='$Y_{%d%d}$' % (l, m), autosize=False,
                      width=700, height=700,
                      margin=dict(l=65, r=50, b=65, t=90)
    )
    
    return fig

现在我们可以通过调用该函数在 Jupyter Notebook 中创建图形：

create_figure(1, 0)

参阅一：计算思维

参阅二：亚图跨际