每日OJ题_子数组子串dp⑤_力扣413. 等差数列划分

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力扣413. 等差数列划分

解析代码

力扣413. 等差数列划分

413. 等差数列划分

难度 中等

如果一个数列 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。

• 例如，[1,3,5,7,9]、[7,7,7,7] 和 [3,-1,-5,-9] 都是等差数列。

给你一个整数数组 nums ，返回数组 nums 中所有为等差数组的 子数组 个数。

子数组 是数组中的一个连续序列。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4]
输出：3
解释：nums 中有三个子等差数组：[1, 2, 3]、[2, 3, 4] 和 [1,2,3,4] 自身。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：0

提示：

• 1 <= nums.length <= 5000
• -1000 <= nums[i] <= 1000

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {

    }
};

解析代码

        首先等差数列至少是三个数，由于研究对象是一段连续的区间，如果我们状态表示定义成 [0, i] 区间内一共有多少等差数列，那么在分析 dp[i] 的状态转移时，会无从下手，因为我们不清楚前面那么多的等差数列都在什么位置。所以说，定义的状态表示必须让等差数列有迹可循，让状态转移的时候能找到大部队。因此，可以固定死等差数列的结尾，定义下面的状态表示：

dp[i] 表示必须以 i 位置的元素为结尾 的等差数列有多少种。

        在做题之前需要了解⼀下等差数列的性质：如果 a b c 三个数成等差数列，这时候来了一个d，其中 b c d 也能构成⼀个等差数列，那么 a b c d 四个数也能够成等差序列。因为他们之间相邻两个元素之间的差值都是⼀样的。

        有了这个理解，我们就可以转而分析我们 的状态转移方程了。 对于 dp[i] 位置的元素 nums[i]，会与前面的两个元素有下面两种情况：

• nums[i - 2], nums[i - 1], nums[i] 三个元素不能构成等差数列：那么以 nums[i] 为结尾的等差数列就不存在，此时 dp[i] = 0 ;
• nums[i - 2], nums[i - 1], nums[i] 三个元素可以构成等差数列：那么以 nums[i - 1] 为结尾的所有等差数列后面填上一个 nums[i] 也是一个等差数列，此时 dp[i] = dp[i - 1] 。但是，因为 nums[i - 2], nums[i - 1], nums[i] 三 者又能构成一个新的等差数列，因此要在之前的基础上再添上一个等差数列，于是 dp[i] = dp[i - 1] + 1 。

综上所述：状态转移方程为：

• 当： nums[i - 2] + nums[i] != 2 * nums[i - 1] 时， dp[i] = 0;
• 当： nums[i - 2] + nums[i] == 2 * nums[i - 1] 时， dp[i] = 1 + dp[i - 1];

也可以为 dp[i] = nums[i]-nums[i-1] == nums[i-1]-nums[i-2] ? dp[i-1]+1 : 0;

初始化就是dp[0] = dp[1] = 0; 从左往右填表，最后返回dp表的所有值。

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
        // dp[i] 表示必须以 i 位置的元素为结尾 的等差数列有多少种
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n);
        int ret = 0;
        for(int i = 2; i < n; ++i)
        {   // 前两个默认为0
            dp[i] = nums[i]-nums[i-1] == nums[i-1]-nums[i-2] ? dp[i-1]+1 : 0;
            ret += dp[i];       
        }
        return ret;
    }
};