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力扣647. 回文子串
难度 中等
给你一个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文子串 的数目。
回文字符串 是正着读和倒过来读一样的字符串。
子字符串 是字符串中的由连续字符组成的一个序列。
具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
示例 1：
输入：s = "abc" 输出：3 解释：三个回文子串: "a", "b", "c"
示例 2：
输入：s = "aaa" 输出：6 解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"
提示：
1 <= s.length <= 1000s由小写英文字母组成
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
}
};解析代码
这道题虽然动态规划的解法不是最优的解法（官方题解的中心拓展解法简单且空间是O（1），两种解法的时间都是O（N^2），但此题动态规划解法空间是O（N^2）），但是可以为后面的回文串dp类型的困难题做准备，思路就是可以先预处理一下，将所有子串是否回文的信息统计在 dp 表里面，然后直接在表里面统计 true 的个数即可。
状态表示： 为了能表示出来所有的子串，我们可以创建⼀个 n * n 的二维 dp 表，只用到上三角部分即可。 其中， dp[i][j] 表示： s 字符串区间 [i, j] 的子串，是否是回文串。
状态转移方程：对于回文串，我们一般分析一个区间两头的元素：
当 s[i] != s[j] 的时候：不可能是回文串， dp[i][j] = 0 ;
当 s[i] == s[j] 的时候：根据长度分三种情况讨论：
- 长度为 1 ，也就是 i == j ：此时一定是回文串， dp[i][j] = true ;
- 长度为 2 ，也就是 i + 1 == j ：此时也一定是回文串， dp[i][j] = true ;
- 长度大于 2 ，此时要去看看 [i + 1, j - 1] 区间的子串是否回文： dp[i][j]= dp[i + 1][j - 1] ;
综上，状态转移方程分情况谈论即可。
分情况很细，无需初始化，填 j 用到 j - 1，所以从下往上填表，最后返回dp表中ture的个数。
class Solution {
public:
int countSubstrings(string s) {
int n = s.size(), ret = 0;
vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n, false));
// dp[i][j] 表示： s 字符串区间 [i, j] 的子串，是否是回文串
for(int i = n - 1; i >= 0; --i)
{
for(int j = i; j < n; ++j)
{
if(s[i] == s[j])
// if(i == j || i + 1 == j)
dp[i][j] = i + 1 >= j ? true : dp[i + 1][j - 1] ;
if(dp[i][j])
++ret;
}
}
return ret;
}
};
