【机器学习】无监督学习算法之：高斯混合模型

1、引言

小屌丝：鱼哥，给俺讲一讲什么是高斯啊
小鱼：高斯？

小屌丝：不是这个高斯
小鱼：不是这个高斯，那你等下，应该是这个。

小屌丝：… 也不是这个啊~
小鱼：这个还不是，那你再等下
小屌丝：好的好的。
小鱼：这次应该是对的。

小屌丝：… 啊啊啊~~ 不对啊， 鱼哥，你…
小鱼：咋了， 都三个形态了，还不对，那还有3个形态，你稍等。
小屌丝： 我说的不是高斯奥特曼，
小鱼：不是高斯奥特曼，那是赛罗奥特曼？欧布奥特曼？
小屌丝：… 也不是的啊
小鱼：难道你是说？
小屌丝：嗯嗯嗯。
小鱼： 不会真的是 贝利亚奥特曼…
小屌丝： 啊啊啊~ ~ 鱼哥， 我说的不是奥特曼，是高斯混合模型。
小鱼：哦哦哦~ ~ 谁让你不把名称说全了， 这整的…
小屌丝：鱼哥，赶紧的，讲一讲 高斯混合模型。
小鱼：这… 等我把这集奥特曼看完。
小屌丝：完美世界不香吗？印神王座不香吗? 还
小鱼：香… 这个真香…
小屌丝：那赶紧讲完，咱边泡澡边看动画片。
小鱼：这个更香。

2、高斯混合模型

2.1 定义

高斯混合模型是一种概率模型，它假设所有的数据点都是由有限个高斯分布（也称为正态分布）生成的。
每个高斯分布代表数据中的一个子集或“簇”，而整个数据集则是这些高斯分布的混合。

2.2 原理

高斯混合模型的核心思想是，通过估计每个高斯分布的参数（均值、协方差和权重），以及它们在混合模型中的比例，来拟合数据的概率分布。

这通常通过期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法来实现，该算法是一种迭代方法，用于在概率模型中寻找参数的最大似然估计。

2.3 实现方式

实现高斯混合模型通常包括以下步骤：

• 初始化：为每个高斯分布随机选择均值、协方差和权重。
• E步骤（期望步骤）：根据当前参数估计，计算每个数据点属于每个高斯分布的概率。
• M步骤（最大化步骤）：使用E步骤中计算的概率，重新估计每个高斯分布的参数。
• 迭代：重复E步骤和M步骤，直到参数收敛或达到预设的迭代次数。

2.4 算法公式

2.4.1 概率密度函数

高斯混合模型的概率密度函数可以表示为：

$$[p(x)=\sum _{k=1}^K{\pi }_k\mathcal{N}(x|{\mu }_k,{\Sigma }_k)]$$

其中，(K) 是高斯分布的个数，$({\pi }_k)$ 是第 $(k)$ 个高斯分布的权重（满足 $({\sum }_{k=1}^K{\pi }_k=1)）$，$({\mu }_k)$ 和 $({\Sigma }_k)$ 分别是第 $(k)$ 个高斯分布的均值和协方差，$(\mathcal{N}(x|{\mu }_k,{\Sigma }_k))$ 是高斯分布的概率密度函数。

2.4.2 EM算法之E步骤

在EM算法的E步骤中，需要计算每个数据点属于每个高斯分布的后验概率：

$$[\gamma (z_{nk})=\frac{{\pi }_k\mathcal{N}(x_n|{\mu }_k,{\Sigma }_k)}{{\sum }_{j=1}^K{\pi }_j\mathcal{N}(x_n|{\mu }_j,{\Sigma }_j)}]$$

其中，$(z_{nk})$ 是一个二元变量，表示数据点$(x_n)$是否属于第 $(k)$ 个高斯分布。

2.4.2 EM算法之M步骤

在M步骤中，根据后验概率重新估计参数：

$$[{\pi }_k=\frac{N_k}{N},{\mu }_k=\frac{1}{N_k}\sum _{n=1}^N\gamma (z_{nk})x_n,{\Sigma }_k=\frac{1}{N_k}\sum _{n=1}^N\gamma (z_{nk})(x_n-{\mu }_k{)}^T(x_n-{\mu }_k)]$$

其中，$(N_k)$是属于第 $(k)$ 个高斯分布的数据点的数量。

2.5 代码示例

# -*- coding:utf-8 -*-
# @Time   : 2024-03-10
# @Author : Carl_DJ

'''
实现功能：
    scikit-learn库实现高斯混合模型 

'''
from sklearn.mixture import GaussianMixture  
import numpy as np  
  
# 生成一些随机数据  
np.random.seed(0)  
n_samples = 300  
X, y = make_blobs(n_samples=n_samples, centers=4, cluster_std=0.60, random_state=0)  
  
# 使用高斯混合模型进行拟合  
gmm = GaussianMixture(n_components=4).fit(X)  
  
# 预测数据点的标签  
labels = gmm.predict(X)  
  
# 显示结果  
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=labels, s=40, cmap='viridis')  
plt.show()

解析：

• 生成随机数据：

  • 使用numpy库生成了一个包含300个样本的随机数据集X，这些样本是二维的，并且根据四个中心点(centers=4)进行聚类，每个簇的标准差为0.6。
  • y是这些样本的真实标签，但在后续的高斯混合模型使用中并未直接使用到这些标签，因为GMM是一种无监督学习算法。

• 高斯混合模型拟合：

  • 使用sklearn.mixture中的GaussianMixture类创建了一个高斯混合模型对象gmm，并指定模型中有四个高斯成分（n_components=4），对应于数据中的四个簇。
  • 使用fit方法对数据集X进行拟合，估计每个高斯成分的均值、协方差和权重。

• 预测数据点标签：

  • 使用predict方法对数据集X中的每个数据点进行标签预测。这里，“标签”是指每个数据点最可能属于的高斯成分的索引。在聚类上下文中，这些标签可以被视为数据点的簇分配。

• 可视化结果：

  • 使用matplotlib的scatter函数，根据预测得到的标签labels，将数据点绘制在二维平面上，并使用颜色映射cmap='viridis’区分不同的簇。
  • plt.show()用于显示绘制的散点图。

  

3、总结

看到这里，今天的内容就分享到告一段落了。
我们在回顾一下告诉混合模型：
高斯混合模型是一种强大的无监督学习算法，它能够发现数据中的复杂结构，并将数据划分为多个高斯分布的混合。通过EM算法迭代地估计每个高斯分布的参数，GMM能够有效地拟合数据的概率分布，并用于聚类、密度估计等任务。在实际应用中，GMM可以根据具体需求进行扩展

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